A produção de trigo W em um determinado ano depende da temperatura média T e do volume anual das chuvas R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15^circ C / ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1 cm / ano. Eles também estimam que, no atual nível de produção, partial W / partial T=-2 e partial W / partial R=8.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo d W / d t.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício fala sobre a produção de trigo que depende da temperatura média e do volume anual de chuvas . A gente vai usar cálculo, mais especificamente derivadas parciais, para entender como essas variáveis afetam a produção de trigo. Vamos precisar saber o que significam as derivadas parciais e como calcular a taxa de variação da produção de trigo ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função que depende de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mostra como a função muda quando a gente varia apenas essa variável, mantendo as outras constantes. No nosso caso, indica como a produção de trigo muda com a temperatura, e mostra como muda com a quantidade de chuva.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a) do exercício: “Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?”
O sinal das derivadas parciais nos diz se a relação entre as variáveis e a produção de trigo é positiva ou negativa.
  • Se for negativo, significa que um aumento na temperatura faz a produção de trigo diminuir.
  • Se for positivo, significa que um aumento na quantidade de chuva faz a produção de trigo aumentar.

Passo 4

Vamos para a parte (b): “Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo d Wd t = partial Wpartial T cdot d Td t + partial Wpartial R cdot d Rd t .”
Para isso, usamos a regra da cadeia no cálculo diferencial, que combina as derivadas parciais com as taxas de variação das variáveis independentes ao longo do tempo.
A fórmula fica assim:

Passo 5

Vamos substituir os valores que a gente tem:
  • d Wd t = (-2) cdot 0,15 + 8 cdot (-0,1)
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora é só calcular:
d Wd t = -0,3 - 0,8 = -1,1
Isso significa que a produção de trigo está diminuindo a uma taxa de 1,1 unidades por ano.

Resposta

d Wd t = -1,1

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