A produção de trigo
em um determinado ano depende da temperatura média
e do volume anual das chuvas
. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de
ano e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de
ano. Eles também estimam que, no atual nível de produção,
e
.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
.
(a) Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?
(b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício fala sobre a produção de trigo
que depende da temperatura média
e do volume anual de chuvas
. A gente vai usar cálculo, mais especificamente derivadas parciais, para entender como essas variáveis afetam a produção de trigo. Vamos precisar saber o que significam as derivadas parciais e como calcular a taxa de variação da produção de trigo ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função que depende de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mostra como a função muda quando a gente varia apenas essa variável, mantendo as outras constantes. No nosso caso,
indica como a produção de trigo muda com a temperatura, e
mostra como muda com a quantidade de chuva.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a) do exercício: “Qual é o significado do sinal dessas derivadas parciais?”
O sinal das derivadas parciais nos diz se a relação entre as variáveis e a produção de trigo é positiva ou negativa.
- Se
for negativo, significa que um aumento na temperatura faz a produção de trigo diminuir. - Se
for positivo, significa que um aumento na quantidade de chuva faz a produção de trigo aumentar.
Passo 4
Vamos para a parte (b): “Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
.”
Para isso, usamos a regra da cadeia no cálculo diferencial, que combina as derivadas parciais com as taxas de variação das variáveis independentes ao longo do tempo.
A fórmula fica assim:
Passo 5
Vamos substituir os valores que a gente tem:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora é só calcular:
Isso significa que a produção de trigo está diminuindo a uma taxa de 1,1 unidades por ano.