Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis. t = f(u, v, w), onde u = u(p, q, r, s), v = v(p, q, r, s), w = w(p, q, r, s)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta super útil para calcular derivadas de funções compostas. No caso, temos uma função , onde cada uma das variáveis , e depende de outras quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é usar um diagrama em árvore para representar essa regra da cadeia nesse cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis. Quando temos funções compostas, a derivada de uma função em relação a uma variável externa envolve somar as derivadas parciais multiplictadas pelas derivadas das variáveis intermediárias.
Aqui, depende de , e , que por sua vez dependem de , , e . Então, para encontrar, por exemplo, a derivada de em relação a , a gente precisa considerar como muda quando , ou mudam com .

Passo 3

Vamos construir o diagrama em árvore. Imagine um tronco que é a variável . Do tronco, saem três ramos principais: , e . Cada um desses ramos, por sua vez, se ramifica para as variáveis , , e .
Assim, o diagrama ficaria mais ou menos assim:
        t
       /|\
      / | \
     u  v  w
    /|\ /|\ /|\
   p q r s p q r s

Passo 4

Agora, vamos traduzir esse diagrama em uma expressão matemática usando a Regra da Cadeia. A ideia é que para cada variável externa ( , , , ), a derivada de em relação a essa variável será a soma das derivadas parciais de em relação a , e , multiplicadas pelas derivadas parciais dessas variáveis em relação à variável externa.
Por exemplo, para :

Passo 5

Repetindo o mesmo processo para as outras variáveis externas ( , , ), temos:

Resposta

Utilizando um diagrama em árvore, a Regra da Cadeia para onde dependem de , fica representada pelas seguintes expressões:
Essas equações mostram como calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis externas ( ) utilizando a estrutura do diagrama em árvore.

Exercícios relacionados