Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
, onde
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo envolvendo a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta super útil para calcular derivadas de funções compostas. No caso, temos uma função
, onde cada uma das variáveis
,
e
depende de outras quatro variáveis:
,
,
e
. Nosso objetivo é usar um diagrama em árvore para representar essa regra da cadeia nesse cenário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a Regra da Cadeia em funções de múltiplas variáveis. Quando temos funções compostas, a derivada de uma função em relação a uma variável externa envolve somar as derivadas parciais multiplictadas pelas derivadas das variáveis intermediárias.
Aqui,
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
,
,
e
. Então, para encontrar, por exemplo, a derivada de
em relação a
, a gente precisa considerar como
muda quando
,
ou
mudam com
.
Passo 3
Vamos construir o diagrama em árvore. Imagine um tronco que é a variável
. Do tronco, saem três ramos principais:
,
e
. Cada um desses ramos, por sua vez, se ramifica para as variáveis
,
,
e
.
Assim, o diagrama ficaria mais ou menos assim:
t
/|\
/ | \
u v w
/|\ /|\ /|\
p q r s p q r s
Passo 4
Agora, vamos traduzir esse diagrama em uma expressão matemática usando a Regra da Cadeia. A ideia é que para cada variável externa (
,
,
,
), a derivada de
em relação a essa variável será a soma das derivadas parciais de
em relação a
,
e
, multiplicadas pelas derivadas parciais dessas variáveis em relação à variável externa.
Por exemplo, para
:
Passo 5
Repetindo o mesmo processo para as outras variáveis externas (
,
,
), temos:
Resposta
Utilizando um diagrama em árvore, a Regra da Cadeia para
onde
dependem de
, fica representada pelas seguintes expressões:
Essas equações mostram como calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis externas (
) utilizando a estrutura do diagrama em árvore.