Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis.
, onde
,
Passo 1
Então, o enunciado pede para a gente usar um diagrama em árvore para aplicar a Regra da Cadeia em uma função composta. Estamos lidando com funções diferenciáveis, ou seja, todas as funções têm derivadas. A função principal é
, onde cada uma dessas variáveis (
) depende de outras três variáveis:
. Para resolver, vamos precisar entender como cada variável se relaciona e como aplicar a Regra da Cadeia usando um diagrama em árvore.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as relações entre as variáveis. Temos:
E a função principal:
Isso significa que
depende de
, e cada uma dessas depende de
.
Passo 3
Agora, vamos construir o diagrama em árvore. No topo da árvore, temos
. A partir de
, saem quatro ramos para
. Cada uma dessas variáveis, por sua vez, depende de
, então desenhamos ramos de
para
.
Passo 4
Com o diagrama em árvore, podemos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
. A Regra da Cadeia nos diz que a derivada parcial de
em relação, por exemplo, a
é a soma das derivadas parciais de
com relação a cada variável intermediária (
) multiplicadas pelas derivadas parciais dessas variáveis em relação a
:
Fazemos o mesmo para
e
.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
De forma semelhante, para
e
: