Utilize um diagrama em árvore para escrever a Regra da Cadeia para o caso dado. Suponha que todas as funções sejam diferenciáveis. R = f(x, y, z, t), onde x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), t = t(u, v, w)

Passo 1

Então, o enunciado pede para a gente usar um diagrama em árvore para aplicar a Regra da Cadeia em uma função composta. Estamos lidando com funções diferenciáveis, ou seja, todas as funções têm derivadas. A função principal é , onde cada uma dessas variáveis ( ) depende de outras três variáveis: . Para resolver, vamos precisar entender como cada variável se relaciona e como aplicar a Regra da Cadeia usando um diagrama em árvore.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as variáveis. Temos:
E a função principal:
Isso significa que depende de , e cada uma dessas depende de .

Passo 3

Agora, vamos construir o diagrama em árvore. No topo da árvore, temos . A partir de , saem quatro ramos para . Cada uma dessas variáveis, por sua vez, depende de , então desenhamos ramos de para .

Passo 4

Com o diagrama em árvore, podemos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a . A Regra da Cadeia nos diz que a derivada parcial de em relação, por exemplo, a é a soma das derivadas parciais de com relação a cada variável intermediária ( ) multiplicadas pelas derivadas parciais dessas variáveis em relação a :
Fazemos o mesmo para e .

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:
De forma semelhante, para e :

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