Um produto apresenta garantia média de 60 dias com desvio padrão de 20 dias. Um fornecedor vende para uma loja um lote de 100 unidades do produto e garante que a duração média desse lote será superior a 61 dias. Qual a probabilidade do fabricante estar certo?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um produto que, em média, dura 60 dias e o tempo de garantia varia com um desvio padrão de 20 dias. Um fornecedor vende 100 unidades desse produto para uma loja, garantindo que a média de duração desse lote vai ser superior a 61 dias. Queremos descobrir qual é a probabilidade de essa garantia do fabricante estar correta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especialmente sobre média amostral e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os dados que temos:
- Média populacional ($ \mu $) = 60 dias
- Desvio padrão populacional ($ \sigma $) = 20 dias
- Tamanho da amostra ($ n $) = 100 unidades
- Média garantida pelo fornecedor = 61 dias
Queremos calcular a probabilidade de que a média da amostra realmente seja maior que 61 dias.
Passo 3
Vamos usar o Teorema Central do Limite, que nos diz que, para amostras grandes (geralmente $ n \geq 30 $ é suficiente), a distribuição da média amostral será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja. Isso facilita nossos cálculos!
Passo 4
Primeiro, calculamos o Erro Padrão da Média (EPM), que nos indica quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Então, o erro padrão é 2 dias.
Passo 5
Agora, vamos calcular o escore Z, que nos mostra quantos desvios padrão a média garantida está da média populacional. A fórmula é:
Substituindo:
Então, o Z é 0,5.
Passo 6
Com o escore Z calculado, queremos encontrar a probabilidade de que Z seja maior que 0,5. Ou seja, $ P(Z > 0,5) $.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, sabemos que:
Então,
Isso significa que a probabilidade é de aproximadamente 30,85%.
Resposta
A probabilidade de o fabricante estar certo de que a média de duração do lote é superior a 61 dias é de aproximadamente 30,85%.