O produto dado por \left\langle\left(\boldsymbol{u}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{u}_{\mathbf{2}}\right),\left(\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}\right)\right\rangle=\boldsymbol{u}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{u}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}-\boldsymbol{u}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \boldsymbol{u}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}} define um produto interno em \mathbb{R}^{2}.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se a forma bilinear
\langle(u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2})\rangle = u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+\tfrac12\,u_{2}v_{2}
define um produto interno em \mathbb{R}^2.
Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. bilinearidade;
  2. simetria;
  3. positividade definida ( \langle x,x\rangle>0 para todo x\neq0).

Passo 2

Bilineridade é óbvia pela expressão ser soma de termos do tipo u_i v_j.
Para a simetria, observe que trocar (u_1,u_2) por (v_1,v_2) leva a
v_{1}u_{1}-v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}+\tfrac12\,v_{2}u_{2} = u_{1}v_{1}-u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}+\tfrac12\,u_{2}v_{2},
ou seja, \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.

Passo 3

Para a positividade definida, considere
\langle(x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2})\rangle = x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+\tfrac12\,x_{2}^{2}.
Em forma de matriz,
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -1 & \tfrac12\end{pmatrix},
os menores principais são
\det([1])=1>0 e
\det(A)=1\cdot\tfrac12-(-1)^2=-\tfrac12<0.
Como um menor principal é negativo, a forma não é definida positiva. Alternativamente, para x=(1,1) temos
\langle x,x\rangle = 1-2+{\tfrac12}=-\tfrac12<0.
Logo não satisfaz positividade definida.

Resposta

Falso

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