O produto de dois números é 800 . Diminuindo-se um deles de 7 unidades, o produto diminui de 224 unidades. Determine os números.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O produto de dois números é
. - Diminuindo-se um deles de
unidades, o produto diminui em unidades.
O que se pede: determinar quais são os dois números que satisfazem essas condições.
Passo 2
Vamos representar os dois números por variáveis para poder escrever equações.
- Seja
o primeiro número e o segundo número.
A primeira informação vira a equação
A segunda informação diz que, se diminuirmos um dos números em
, o produto passa a ser
. Como o enunciado não especifica qual dos dois é diminuído, analisamos as duas possibilidades (elas são simétricas).
Passo 3
Caso A: diminuímos
em
. Então a segunda equação é
Subtraindo essa equação da primeira
obtemos uma equação simples:
No lado esquerdo fatoramos
:
Como
, isso fica
Dividindo ambos os lados por
(explicando: dividir por
significa encontrar um número que multiplicado por
dá
),
Agora, usando
, obtemos
Passo 4
Caso B: diminuímos
em
. Por simetria, aplicando o mesmo procedimento trocando papéis de
e
obtemos
Ou seja, a solução é a mesma em termos do par não-ordenado: os números são
e
.
Passo 5
Verificação (é sempre bom checar na prova):
- Produto original:
. - Diminuindo
em : . A diferença é , que é exatamente o que o enunciado pediu. - Se diminuíssemos
em : , a diferença seria , então nesse caso particular a hipótese “diminuindo-se um deles de o produto diminui de ” só acontece quando o número diminuído é o que vale . Mas como o enunciado não distingue ordem, o par de números é e .
Passo 6
Comentário didático final e regra prática que ajuda em provas: quando se tem duas equações do tipo
subtrair as equações elimina o termo
e dá uma equação linear em
:
o que evita ter que resolver quadráticas. Aqui
,
,
, daí
direto, e depois
.