O produto de dois números é 800 . Diminuindo-se um deles de 7 unidades, o produto diminui de 224 unidades. Determine os números.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O produto de dois números é 800.
  • Diminuindo-se um deles de 7 unidades, o produto diminui em 224 unidades.
    O que se pede: determinar quais são os dois números que satisfazem essas condições.

Passo 2

Vamos representar os dois números por variáveis para poder escrever equações.
  • Seja x o primeiro número e y o segundo número.
    A primeira informação vira a equação
xy = 800.
A segunda informação diz que, se diminuirmos um dos números em 7, o produto passa a ser 800-224=576. Como o enunciado não especifica qual dos dois é diminuído, analisamos as duas possibilidades (elas são simétricas).

Passo 3

Caso A: diminuímos x em 7. Então a segunda equação é
(x-7)y = 576.
Subtraindo essa equação da primeira (xy=800) obtemos uma equação simples:
xy - (x-7)y = 800 - 576.
No lado esquerdo fatoramos y:
y\bigl(x - (x-7)\bigr) = 224.
Como x-(x-7)=7, isso fica
7y = 224.
Dividindo ambos os lados por 7 (explicando: dividir por 7 significa encontrar um número que multiplicado por 7 224),
y = \frac{224}{7} = 32.
Agora, usando xy=800, obtemos
x = \frac{800}{y} = \frac{800}{32} = 25.

Passo 4

Caso B: diminuímos y em 7. Por simetria, aplicando o mesmo procedimento trocando papéis de x e y obtemos
x = 32,\qquad y = 25.
Ou seja, a solução é a mesma em termos do par não-ordenado: os números são 25 e 32.

Passo 5

Verificação (é sempre bom checar na prova):
  • Produto original: 25\cdot32 = 800.
  • Diminuindo 25 em 7: (25-7)\cdot32 = 18\cdot32 = 576. A diferença é 800-576=224, que é exatamente o que o enunciado pediu.
  • Se diminuíssemos 32 em 7: 25\cdot(32-7)=25\cdot25=625, a diferença seria 175, então nesse caso particular a hipótese “diminuindo-se um deles de 7 o produto diminui de 224” só acontece quando o número diminuído é o que vale 25. Mas como o enunciado não distingue ordem, o par de números é 25 e 32.

Passo 6

Comentário didático final e regra prática que ajuda em provas: quando se tem duas equações do tipo
xy=P\quad\text{e}\quad(x-d)y=P-k,
subtrair as equações elimina o termo xy e dá uma equação linear em y:
d\,y = k \quad\Rightarrow\quad y=\frac{k}{d},
o que evita ter que resolver quadráticas. Aqui P=800, k=224, d=7, daí y=32 direto, e depois x=P/y.

Resposta

25
32

Exercícios relacionados