Um produto é embalado em recipientes no formato de cilindros retos. O tipo de embalagem A tem altura 20 cm e raio da base 8 cm . O tipo de embalagem B tem altura 15 cm e raio da base 10 cm .
A) Na confecção de qual dessas embalagens se gasta mais material?
B) Suponha que o produto na embalagem A seja vendido a R \ 8,00 e o produto na embalagem B a R$9,00$. Qual das aquisições é mais vantajosa para o consumidor?

Passo 1

O enunciado descreve dois cilindros retos usados como embalagem:
  • Tipo A com altura h_A=20 cm e raio r_A=8 cm.
  • Tipo B com altura h_B=15 cm e raio r_B=10 cm.
    Precisamos comparar (A) a área total de superfície de cada cilindro (que corresponde ao material gasto) e (B) o custo-benefício, ou seja, o preço pago dividido pelo volume de produto em cada embalagem.

Passo 2

A área total de um cilindro é
A_{\text{tot}} = 2\pi r h \;+\; 2\pi r^2,
onde 2\pi r h é a área lateral e 2\pi r^2 é a soma das duas bases.
Para o tipo A:
A_{\text{tot},A} = 2\pi r_A h_A + 2\pi r_A^2 = 2\pi\cdot 8\cdot 20 \;+\;2\pi\cdot 8^2 = 320\pi +128\pi =448\pi\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Para o tipo B:
A_{\text{tot},B} = 2\pi r_B h_B + 2\pi r_B^2 = 2\pi\cdot 10\cdot 15 \;+\;2\pi\cdot 10^2 =300\pi +200\pi =500\pi\\ \text{cm}^2.
Comparando 448\pi com 500\pi, o tipo B gasta mais material.

Passo 4

O volume de um cilindro é
V = \pi r^2 h.
Para o tipo A:
V_A = \pi\cdot 8^2 \cdot 20 =1280\pi\\ \text{cm}^3.
Para o tipo B:
V_B = \pi\cdot 10^2 \cdot 15 =1500\pi\\ \text{cm}^3.

Passo 5

O preço por volume (R$\ por c m^{3}) de cada embalagem é
\text{tipo A: }\frac{8}{V_A} =\frac{8}{1280\pi} =\frac{1}{160\pi} \approx0{,}00199\;\text{R\$}/\text{cm}^3,
\text{tipo B: }\frac{9}{V_B} =\frac{9}{1500\pi} =\frac{3}{500\pi} \approx0{,}00191\;\text{R\$}/\text{cm}^3.
Como 0{,}00191<0{,}00199, o tipo B oferece maior volume de produto por real gasto, sendo mais vantajoso.

Resposta

A) A embalagem B gasta mais material.
B) A compra mais vantajosa para o consumidor é a embalagem B.

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