(Produto escalar e ângulo)
Sejam u=(1,2) e v=(2,-1)
a) Calcule u \cdot v
b) Determine o ângulo entre os vetores

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(1,2) e v=(2,-1).
Pede duas coisas:
a) calcular u\cdot v;
b) determinar o ângulo entre u e v.

Passo 2

Vamos lembrar o que é produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^2 e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores.
Definição algébrica (fácil de aplicar em prova):
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2,
onde u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2). Aqui u_1 é a primeira componente de u, u_2 a segunda, e o mesmo para v.
Fórmula geométrica (liga com o ângulo):
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta,
onde \|u\| é o comprimento (norma) de u, \|v\| é a norma de v, e \theta é o ângulo entre u e v. Para lembrar: \|u\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.
No exame:
  • Use a definição algébrica para calcular o produto escalar rapidamente.
  • Se precisar do ângulo, calcule as normas e use a fórmula com \cos\theta. Se o produto escalar der zero, isso já indica ângulo de 90^\circ (ortogonalidade).

Passo 3

Calcular u\cdot v usando a definição algébrica.
Escrevendo as componentes:
u_1=1,\; u_2=2,\; v_1=2,\; v_2=-1.
Aplicando a fórmula:
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1).
Fazendo as contas passo a passo:
1\cdot 2 = 2, \qquad 2\cdot(-1) = -2,
u\cdot v = 2 + (-2) = 0.

Passo 4

Interpretação imediata: como u\cdot v = 0, os vetores são ortogonais (perpendiculares). Em termos do ângulo, isso significa que \cos\theta = 0, porque pela fórmula geométrica
u\cdot v = \|u\|\,\|v\|\cos\theta.
Se o produto escalar é zero e as normas são positivas, então \cos\theta=0.
Ainda assim, para ser didático, vamos calcular as normas e verificar o passo intermediário.

Passo 5

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
Para u=(1,2):
\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.
Para v=(2,-1):
\|v\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.
Então \|u\|\,\|v\| = \sqrt{5}\cdot\sqrt{5} = 5.

Passo 6

Usar a relação geométrica para obter \theta.
Sabendo que u\cdot v = 0 e \|u\|\,\|v\| = 5, temos
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{0}{5} = 0.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}(0).
No círculo trigonométrico, \operatorname{arccos}(0)=\dfrac{\pi}{2} radianos, que é 90^\circ. Assim os vetores são perpendiculares.

Passo 7

Resumo e dica para prova (rápida e prática):
  • Se ao calcular u\cdot v você obtiver 0, pode imediatamente responder que o ângulo é 90^\circ sem calcular normas. É um atalho útil em prova.
  • Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo ( <90^\circ); se for negativo, é obtuso ( >90^\circ).

Resposta

a) 0
b) \theta=\dfrac{\pi}{2} = 90^\circ

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