(Produto escalar e ângulo)
Sejam
e
a) Calcule
b) Determine o ângulo entre os vetores
a) Calcule
b) Determine o ângulo entre os vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
.
Pede duas coisas:
a) calcular ;
b) determinar o ângulo entre e
.
Pede duas coisas:
a) calcular
b) determinar o ângulo entre
Passo 2
Vamos lembrar o que é produto escalar (dot product) em
e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores.
Definição algébrica (fácil de aplicar em prova):
onde
e
. Aqui
é a primeira componente de
,
a segunda, e o mesmo para
.
Fórmula geométrica (liga com o ângulo):
onde
é o comprimento (norma) de
,
é a norma de
, e
é o ângulo entre
e
. Para lembrar:
.
No exame:
- Use a definição algébrica para calcular o produto escalar rapidamente.
- Se precisar do ângulo, calcule as normas e use a fórmula com
. Se o produto escalar der zero, isso já indica ângulo de (ortogonalidade).
Passo 3
Calcular
usando a definição algébrica.
Escrevendo as componentes:
.
Aplicando a fórmula:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 4
Interpretação imediata: como
, os vetores são ortogonais (perpendiculares). Em termos do ângulo, isso significa que
, porque pela fórmula geométrica
Se o produto escalar é zero e as normas são positivas, então
.
Ainda assim, para ser didático, vamos calcular as normas e verificar o passo intermediário.
Passo 5
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Então
.
Passo 6
Usar a relação geométrica para obter
.
Sabendo que
e
, temos
Portanto
No círculo trigonométrico,
radianos, que é
. Assim os vetores são perpendiculares.
Passo 7
Resumo e dica para prova (rápida e prática):
- Se ao calcular
você obtiver , pode imediatamente responder que o ângulo é sem calcular normas. É um atalho útil em prova. - Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo (
); se for negativo, é obtuso ( ).
Resposta
a)
b)