Transformações Lineares: Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora ou se é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos achar uma base e a dimensão do núcleo (
), idem para a imagem (
), e dizer se
é injetora, sobrejetora ou isomorfismo.
Passo 2
Para
temos
isto é o sistema
Da primeira equação
. Da segunda
. Da terceira
. Da quarta
dá
.
Logo a única solução é a matriz zero, então
Logo a única solução é a matriz zero, então
e uma base é a lista vazia (
).
Passo 3
Para a imagem, basta ver as imagens das matrizes da base canônica de
:
Destes vetores pode-se extrair a base usual de
:
Portanto
Passo 4
Pela relação de dimensão
vemos consistência. Como
,
é injetora. Como
,
é sobrejetora. Logo
é um isomorfismo.