Transformações Lineares: Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora ou se é um isomorfismo.
T: M2(R) R^4, T(lla & b c & d)=(a, b-a, c, c+d)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2(R)toR^4, Tl(a & b c & dr) =(a,;b-a,;c,;c+d)
Precisamos achar uma base e a dimensão do núcleo ( ker T), idem para a imagem ( Im T), e dizer se T é injetora, sobrejetora ou isomorfismo.

Passo 2

Para l(a & b c & dr)inker T temos
Tl(a & b c & dr)=(0,0,0,0)
isto é o sistema
a=0, b-a=0, c=0, c+d=0
Da primeira equação a=0. Da segunda b-a=b=0. Da terceira c=0. Da quarta 0+d=0 d=0.
Logo a única solução é a matriz zero, então
ker T=l0&00&0r, dimker T=0
e uma base é a lista vazia ( varnothing).

Passo 3

Para a imagem, basta ver as imagens das matrizes da base canônica de M2(R):
E11=1&00&0 mapsto(1,0,0,0), E12=0&10&0 mapsto(0,1,0,0),
E21=0&01&0 mapsto(0,0,1,1), E22=0&00&1 mapsto(0,0,0,1)
Destes vetores pode-se extrair a base usual de R^4:
(1,0,0,0),;(0,1,0,0),;(0,0,1,0),;(0,0,0,1)
Portanto
Im T=R^4, dimIm T=4

Passo 4

Pela relação de dimensão dim M2(R)=4=dimker T+dimIm T vemos consistência. Como dimker T=0, T é injetora. Como dimIm T=4=dimR^4, T é sobrejetora. Logo T é um isomorfismo.

Resposta

ker T=0, base vazia, dimker T=0.
Im T=R^4, base por exemplo (1,0,0,0),,(0,1,0,0),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1), dimIm T=4.
T é injetora, sobrejetora e, portanto, isomorfismo.

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