Transformações Lineares: Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora ou se é um isomorfismo.
T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+y, x-2 y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3 por
T(x,y)=(x+y,;x-2y,;2x+y)
Queremos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (kernel) de T, uma base e a dimensão da imagem (image) de T, e decidir se T é injetora, sobrejetora ou isomorfismo.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3. Como
T(1,0)=(1,1,2), T(0,1)=(1,-2,1),
a matriz associada é
A = 1 & 1 1 & -2 2 & 1

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação , e então . Logo só há solução trivial.

Passo 4

Como o único vetor do núcleo é (0,0), temos
– base do núcleo: nenhuma (ou o conjunto vazio, pois só há o vetor zero),
– dimensão do núcleo: dimker(T)=0.

Passo 5

A imagem de
Precisamos verificar se e são independentes. Se
leva ao sistema
da primeira equação , então . Logo são independentes.

Passo 6

Portanto
– base da imagem: (1,1,2),,(1,-2,1),
– dimensão da imagem: dimIm(T)=2.
Pelo teorema do posto e nulidade, dimker(T)+dimIm(T)=2, que confere com 0+2=2.

Passo 7

Como dimker(T)=0, a transformação é injetora (kernel trivial). Como dimIm(T)=2<3, não é sobrejetora. Logo T não é isomorfismo (precisa ser bijetora).

Resposta

Base do núcleo: emptyset (apenas o vetor zero)
dimker(T)=0
Base da imagem: (1,1,2),,(1,-2,1) dimIm(T)=2 T é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

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