Transformações Lineares: Para cada uma das seguintes transformações lineares calcular: uma base para o núcleo e sua dimensão. Também determinar uma base para a imagem e sua dimensão. Justificar se a transformação linear é injetora ou sobrejetora ou se é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear por
Queremos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (kernel) de , uma base e a dimensão da imagem (image) de , e decidir se é injetora, sobrejetora ou isomorfismo.
Passo 2
Escrevemos a matriz de nas bases canônicas de e . Como
a matriz associada é
Passo 3
Para achar o núcleo, resolvemos
Da primeira equação dá , e então . Logo só há solução trivial.
Passo 4
Como o único vetor do núcleo é (0,0), temos
– base do núcleo: nenhuma (ou o conjunto vazio, pois só há o vetor zero),
– dimensão do núcleo: dimker(T)=0.
Passo 5
A imagem de
Precisamos verificar se e são independentes. Se leva ao sistema
da primeira equação , então . Logo são independentes.
Passo 6
Portanto
– base da imagem: (1,1,2),,(1,-2,1),
– dimensão da imagem: dimIm(T)=2.
Pelo teorema do posto e nulidade, dimker(T)+dimIm(T)=2, que confere com 0+2=2.
Passo 7
Como dimker(T)=0, a transformação é injetora (kernel trivial). Como dimIm(T)=2<3, não é sobrejetora. Logo T não é isomorfismo (precisa ser bijetora).
Resposta
Base do núcleo: emptyset (apenas o vetor zero) dimker(T)=0
Base da imagem: (1,1,2),,(1,-2,1) dimIm(T)=2 T é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.