Seja W o subespaço de M(3,2) gerado por
\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. O vetor \left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 0\end{array}\right] pertence a W ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço W\subset M(3,2) gerado pelas matrizes
A_1=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
e pergunta se a matriz
B=\begin{pmatrix}0&2\\\ 3&4\\\ 5&0\end{pmatrix}
pertence a W. Para isso, precisamos verificar se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3 = B.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear explícita, temos
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3 =\begin{pmatrix} 0&0\\\ \alpha&\alpha\\\\ 0&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&\beta\\\\ 0&-\beta\\\ \beta&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&\gamma\\\\ 0&0\\\\ 0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \beta+\gamma\\\ \alpha & \alpha-\beta\\\ \beta & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando com B, obtemos o sistema
\begin{cases} \beta+\gamma = 2,\\\ \alpha = 3,\\\ \alpha - \beta = 4,\\\ \beta = 5. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem \alpha=3. Da quarta vem \beta=5. Substituindo em \alpha-\beta=4 teríamos
3 - 5 = 4\quad\Longrightarrow\quad -2 = 4,
o que é uma contradição. Logo não há escolha de \alpha,\beta,\gamma que satisfaça o sistema.

Resposta

Não, a matriz dada não pertence a W.

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