Q15: Seja p(x)=-1-7 x+22 x^{2} e \beta=\left\{-2+4 x+4 x^{2}, \quad-1+x+4 x^{2}, \quad 2-x-11 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 4
(E) -1
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = -1 - 7x + 22x^2
e a base
\beta = \{\,v_1, v_2, v_3\}
com
v_1 = -2 + 4x + 4x^2,\quad v_2 = -1 + x + 4x^2,\quad v_3 = 2 - x - 11x^2.
Precisamos escrever
p(x) = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3
e achar a coordenada c.

Passo 2

Substituindo v_1,v_2,v_3 na combinação linear, igualamos coeficientes de 1,x,x^2. Temos
a(-2) + b(-1) + c(2) = -1,
a(4) + b(1) + c(-1) = -7,
a(4) + b(4) + c(-11) = 22.

Passo 3

Reescrevendo o sistema:
\begin{cases} -2a - b + 2c = -1,\\\\ 4a + b - c = -7,\\\\ 4a + 4b -11c = 22. \end{cases}
Da soma da primeira com a segunda:
(-2a + 4a) +(-b + b)+(2c - c) = -1 -7 \;\Longrightarrow\; 2a + c = -8 \;\Longrightarrow\; c = -8 - 2a.

Passo 4

Substituímos c na segunda equação para isolar b:
4a + b - ( -8 -2a ) = -7 \;\Longrightarrow\; 4a + b +8 +2a = -7 \;\Longrightarrow\; b = -15 - 6a.
Agora usamos esses b e c na terceira equação:
4a + 4(-15 - 6a) -11(-8 - 2a) = 22
4a -60 -24a +88 +22a = 22 \;\Longrightarrow\; 2a + 28 = 22 \;\Longrightarrow\; a = -3.
Então
c = -8 - 2(-3) = -8 +6 = -2.

Resposta

-2 (alternativa H)

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