O produto de solubilidade do \mathrm{Ce}(\mathrm{IO} 3) 3 é 3,2 \times 10^{-10}. Qual a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em solução preparada pela mistura de 50 mL de \mathrm{Ce}^{3+} 0,0450 \mathrm{M} com 50 mL de:
0,0450 \mathrm{M} \mathrm{IO}_{3}{ }^{-}

Passo 1

O enunciado pede a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio após misturar duas soluções iguais (50 mL + 50 mL). Dados fornecidos:
  • Produto de solubilidade: \displaystyle K_{sp}(\mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3)=3,2\times10^{-10}.
  • Solução A: 50\\ \mathrm{mL} de \mathrm{Ce}^{3+} a 0,0450\\ \mathrm{M}.
  • Solução B: 50\\ \mathrm{mL} de \mathrm{IO}_3^{-} a 0,0450\\ \mathrm{M}.
O que se pede: calcular [\mathrm{Ce}^{3+}] em equilíbrio após a mistura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume total após mistura: 50\\ \mathrm{mL}+50\\ \mathrm{mL}=100\\ \mathrm{mL}.
  • A reação de dissolução/saturação relevante é:
\mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3(s) \rightleftharpoons \mathrm{Ce}^{3+}(aq) + 3\,\mathrm{IO}_3^{-}(aq).
  • A expressão do produto de solubilidade é:
K_{sp} = [\mathrm{Ce}^{3+}]\,[\mathrm{IO}_3^{-}]^3.

Passo 2

Calcular as concentrações iniciais imediatamente após a mistura (antes de qualquer precipitação), pelo princípio da conservação de quantidade de matéria (diluição):
[\mathrm{Ce}^{3+}]_0 = \frac{0,0450\cdot 50}{100}=0,02250\\ \mathrm{M}, \qquad [\mathrm{IO}_3^{-}]_0 = \frac{0,0450\cdot 50}{100}=0,02250\\ \mathrm{M}.
Vou testar se há precipitação calculando o índice de reação Q (análogo a K_{sp}, mas com concentrações iniciais):
Q = [\mathrm{Ce}^{3+}]_0\,[\mathrm{IO}_3^{-}]_0^3 = (0,02250)\,(0,02250)^3 = (0,02250)^4.
Calculemos (0,02250)^4. É conveniente escrever 0,02250=2,25\times10^{-2}, então
Q = (2,25\times10^{-2})^4 = (2,25^4)\times10^{-8}.
Calculando 2,25^2=5,0625 e 2,25^4=(5,0625)^2\approx25,6289, logo
Q \approx 25,6289\times10^{-8}=2,56289\times10^{-7}.
Comparando com K_{sp}:
Q\approx2,56\times10^{-7}\quad\text{e}\quad K_{sp}=3,2\times10^{-10}.
Como Q\gg K_{sp}, ocorre precipitação de \mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3 até atingir o equilíbrio.

Passo 3

Agora montamos a equação de equilíbrio com a estequiometria da precipitação. Seja
[\mathrm{Ce}^{3+}]_{\text{eq}} = x.
Inicialmente tínhamos 0,02250\\ \mathrm{M} de cada íon; a precipitação consome 1 mol de \mathrm{Ce}^{3+} e 3 mol de \mathrm{IO}_3^{-} por mol de sal formado. Se precipitar y (em molaridade) de sal, então
[\mathrm{Ce}^{3+}]_{\text{eq}} = 0,02250 - y = x,
[\mathrm{IO}_3^{-}]_{\text{eq}} = 0,02250 - 3y.
Eliminando y em favor de x: y=0,02250-x, então
[\mathrm{IO}_3^{-}]_{\text{eq}} = 0,02250 - 3(0,02250-x) = 3x - 2\cdot0,02250 = 3x - 0,04500.
Substituindo na expressão de K_{sp}:
K_{sp} = x\,(3x-0,04500)^3.
Portanto a concentração de equilíbrio x satisfaz
x\,(3x-0,04500)^3 = 3,2\times10^{-10}.

Passo 4

Resolvendo a equação não-linear. Observação útil: como K_{sp} é muito pequeno, espera-se que [\mathrm{IO}_3^{-}]_{\text{eq}} seja muito menor que 0,04500 (ou seja, 3x-0,04500 pequeno comparado com 0,04500). Vamos usar essa ideia para uma aproximação inicial e depois refinar.
Defina y=[\mathrm{IO}_3^{-}]_{\text{eq}}=3x-0,04500. A equação fica
3\,K_{sp} = y^3\,(y+0,04500).
Se y\ll0,04500, então y+0,04500\approx0,04500 e
3\,K_{sp}\approx y^3\cdot0,04500.
Logo
y^3 \approx \frac{3\,K_{sp}}{0,04500} = \frac{3\cdot 3,2\times10^{-10}}{0,04500} = \frac{9,6\times10^{-10}}{0,04500}.
Calculemos:
\frac{9,6\times10^{-10}}{0,04500}\approx2,1333\times10^{-8}.
Tomando a raiz cúbica,
y \approx \sqrt[3]{2,1333\times10^{-8}} \approx 0,00277\\ \mathrm{M}.
Agora recuperamos x pela relação x=(y+0,04500)/3:
x \approx \frac{0,00277+0,04500}{3} = \frac{0,04777}{3}\approx0,01592\\ \mathrm{M}.

Passo 5

Refinamento (checar e ajustar): fazemos uma verificação substituindo x e y na equação exata x\,y^3=K_{sp}. Com x\approx0,01592 e y\approx0,00277 obtivemos um valor ligeiramente acima de K_{sp}, então ajustamos y por uma iteração simples (método de correção):
a) usar a forma exata 3K_{sp}=y^3(y+0,04500). Avaliando com y=0,00277 obtém-se um pequeno excesso positivo; uma iteração de Newton (ou uma correção simples) leva a
y\approx0,00272\\ \mathrm{M}.
b) então
x=\frac{y+0,04500}{3}\approx\frac{0,00272+0,04500}{3}\approx0,015907\\ \mathrm{M}.
c) checagem final: calcular x\,y^3 com esses valores dá \approx3,20\times10^{-10}, ou seja, coincide com K_{sp} dentro de precisão numérica.
Portanto a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio é aproximadamente 0,01591\\ \mathrm{M} (arredondando adequadamente).

Resposta

\;[\mathrm{Ce}^{3+}]_{\text{eq}} \approx 0,01591\\ \mathrm{M}

Exercícios relacionados