O produto de solubilidade do
é
. Qual a concentração de
em solução preparada pela mistura de 50 mL de
com 50 mL de:
Passo 1
O enunciado pede a concentração de
em equilíbrio após misturar duas soluções iguais (50 mL + 50 mL). Dados fornecidos:
- Produto de solubilidade:
. - Solução A:
de a . - Solução B:
de a .
O que se pede: calcular
em equilíbrio após a mistura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume total após mistura:
. - A reação de dissolução/saturação relevante é:
- A expressão do produto de solubilidade é:
Passo 2
Calcular as concentrações iniciais imediatamente após a mistura (antes de qualquer precipitação), pelo princípio da conservação de quantidade de matéria (diluição):
Vou testar se há precipitação calculando o índice de reação
(análogo a
, mas com concentrações iniciais):
Calculemos
. É conveniente escrever
, então
Calculando
e
, logo
Comparando com
:
Como
, ocorre precipitação de
até atingir o equilíbrio.
Passo 3
Agora montamos a equação de equilíbrio com a estequiometria da precipitação. Seja
Inicialmente tínhamos
de cada íon; a precipitação consome 1 mol de
e 3 mol de
por mol de sal formado. Se precipitar
(em molaridade) de sal, então
Eliminando
em favor de
:
, então
Substituindo na expressão de
:
Portanto a concentração de equilíbrio
satisfaz
Passo 4
Resolvendo a equação não-linear. Observação útil: como
é muito pequeno, espera-se que
seja muito menor que
(ou seja,
pequeno comparado com
). Vamos usar essa ideia para uma aproximação inicial e depois refinar.
Defina
. A equação fica
Se
, então
e
Logo
Calculemos:
Tomando a raiz cúbica,
Agora recuperamos
pela relação
:
Passo 5
Refinamento (checar e ajustar): fazemos uma verificação substituindo
e
na equação exata
. Com
e
obtivemos um valor ligeiramente acima de
, então ajustamos
por uma iteração simples (método de correção):
a) usar a forma exata
. Avaliando com
obtém-se um pequeno excesso positivo; uma iteração de Newton (ou uma correção simples) leva a
b) então
c) checagem final: calcular
com esses valores dá
, ou seja, coincide com
dentro de precisão numérica.
Portanto a concentração de
em equilíbrio é aproximadamente
(arredondando adequadamente).