O produto de solubilidade do \mathrm{Ce}(\mathrm{IO} 3) 3 é 3,2 \times 10^{-10}. Qual a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em solução preparada pela mistura de 50 mL de \mathrm{Ce}^{3+} 0,0450 \mathrm{M} com 50 mL de:
0,250 \mathrm{M} \mathrm{IO}_{3}{ }^{-}

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Produto de solubilidade: K_{sp}=3,2\times10^{-10}.
    • Foi misturado 50\\ \text{mL} de solução de \mathrm{Ce}^{3+} com concentração inicial 0,0450\\ \mathrm{M} e 50\\ \text{mL} de solução de \mathrm{IO}_{3}^{-} com concentração 0,250\\ \mathrm{M}.
    • Após mistura o volume total é 50+50=100\\ \text{mL}=0,100\\ \text{L}.
  • O que a questão pede:
    • Determinar a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio na solução resultante.

Passo 2

Calcular as concentrações iniciais (imediatamente após a mistura, antes de precipitar) por diluição simples.
Fórmula de diluição (conservação de mols): C_{\text{final}}=\dfrac{C_{\text{inicial}}\cdot V_{\text{aliquota}}}{V_{\text{total}}}.
Para \mathrm{Ce}^{3+}:
\left[\mathrm{Ce}^{3+}\right]_0=\dfrac{0,0450\cdot0,050}{0,100}=0,0225\\ \mathrm{M}.
Para \mathrm{IO}_{3}^{-}:
\left[\mathrm{IO}_{3}^{-}\right]_0=\dfrac{0,250\cdot0,050}{0,100}=0,125\\ \mathrm{M}.

Passo 3

Verificar se ocorre precipitação calculando o quociente de reação inicial Q e comparando com K_{sp}.
Para o sal \mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3 a dissolução é
\mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3(s)\rightleftharpoons \mathrm{Ce}^{3+}+3\,\mathrm{IO}_3^{-},
e
K_{sp}=[\mathrm{Ce}^{3+}][\mathrm{IO}_{3}^{-}]^{3}.
Calcular Q com as concentrações iniciais:
Q=\left(0,0225\right)\left(0,125\right)^{3}.
Calculemos \left(0,125\right)^{3}=0,001953125. Então
Q=0,0225\times0,001953125=0,000043945\approx4,39\times10^{-5}.
Comparando:
Q\approx4,39\times10^{-5}\quad\text{e}\quad K_{sp}=3,2\times10^{-10}.
Como Q\gg K_{sp}, a solução está supersaturada e ocorre precipitação de \mathrm{Ce}(\mathrm{IO}_3)_3 até atingir o equilíbrio.

Passo 4

Montar a expressão de equilíbrio com uma incógnita para a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio.
Chame c a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio: \left[\mathrm{Ce}^{3+}\right]_{\text{eq}}=c.
Inicialmente havia \left[\mathrm{Ce}^{3+}\right]_0=0,0225 e \left[\mathrm{IO}_{3}^{-}\right]_0=0,125. Se precipitar uma quantidade \Delta de \mathrm{Ce}^{3+}, então:
  • \left[\mathrm{Ce}^{3+}\right]_{\text{eq}}=0,0225-\Delta=c \Delta=0,0225-c.
  • Cada mol de \mathrm{Ce}^{3+} precipitado consome 3 mol de \mathrm{IO}_{3}^{-}, logo \left[\mathrm{IO}_{3}^{-}\right]_{\text{eq}}=0,125-3\Delta=0,125-3(0,0225-c)=0,0575+3c.
Aplicando K_{sp}:
c\left(0,0575+3c\right)^{3}=3,2\times10^{-10}.

Passo 5

Fazer uma aproximação razoável para simplificar a equação. Justificativa didática: espera-se que a concentração final de \mathrm{Ce}^{3+} seja muito pequena (quase todo o Ce precipitá), então 3c será muito menor que 0,0575. Assim podemos aproximar \left(0,0575+3c\right)^{3}\approx(0,0575)^{3}.
Calculemos (0,0575)^{2}=0,00330625 e
(0,0575)^{3}=0,00330625\times0,0575=0,000189103\approx1,89103\times10^{-4}.
Com a aproximação:
c\approx\dfrac{K_{sp}}{(0,0575)^{3}}=\dfrac{3,2\times10^{-10}}{1,89103\times10^{-4}}.

Passo 6

Calcular numericamente c.
Dividindo:
c\approx\dfrac{3,2\times10^{-10}}{1,89103\times10^{-4}}\approx1,6917\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.
Arredondando com números significativos compatíveis com os dados, fica
c\approx1,69\times10^{-6}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Verificar a validade da aproximação 3c\ll0,0575.
Calcule 3c\approx3\times1,6917\times10^{-6}\approx5,08\times10^{-6}\\ \mathrm{M}. Comparando com 0,0575, claramente 5,08\times10^{-6}\ll0,0575, então a aproximação é válida e o resultado confiável.

Passo 8

Interpretação final: após a mistura e precipitação, a concentração de \mathrm{Ce}^{3+} em equilíbrio na solução é muito baixa, do ordem de 10^{-6}\\ \mathrm{M}, conforme calculado.

Resposta

\left[\mathrm{Ce}^{3+}\right]=1,69\times10^{-6}\\ \mathrm{M}

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