O produto vetorial em
é definido por
Prove que esta operação binária não é comutativa nem associativa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a operação
não satisfaz as propriedades de comutatividade nem de associatividade. Vamos usar a definição coordenada e, depois, um contra-exemplo concreto.
Passo 2
Mostramos primeiro que
e
Cada coordenada de
é exatamente o negativo da coordenada correspondente de
. Logo
Passo 3
Como em geral
(salvo os casos em que o resultado é
), concluímos que
ou seja, o produto vetorial NÃO é comutativo.
Passo 4
Para a associatividade temos de verificar se
Basta encontrar
tais que as duas expressões dêem vetores diferentes.
Passo 5
Escolhemos
,
e
.
Calculamos
Calculamos
Por outro lado
Como
o produto vetorial NÃO é associativo.
Resposta
O produto vetorial em
é anti-comutativo (logo não comutativo) e falha a associatividade, como demonstrado acima.