O produto vetorial em R^3 é definido por
wed>=: R^3 times R^3 & R^3 (x, y) & mapsto(x2 y3-x3 y2, x3 y1-x1 y3, x1 y2-x2 y1)
Prove que esta operação binária não é comutativa nem associativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a operação
wed>=colon R^3times R^3toR^3, ( x, y)mapsto l(x2y3 - x3y2,;x3y1 - x1y3,;x1y2 - x2y1r)
não satisfaz as propriedades de comutatividade nem de associatividade. Vamos usar a definição coordenada e, depois, um contra-exemplo concreto.

Passo 2

Mostramos primeiro que
xwed>= y = l(x2y3 - x3y2,;x3y1 - x1y3,;x1y2 - x2y1r)
e
ywed>= x = l(y2x3 - y3x2,;y3x1 - y1x3,;y1x2 - y2x1r)
Cada coordenada de ywed>= x é exatamente o negativo da coordenada correspondente de xwed>= y. Logo
xwed>= y = -,( ywed>= x)

Passo 3

Como em geral xwed>= yneq -,( xwed>= y) (salvo os casos em que o resultado é 0), concluímos que
xwed>= y neq ywed>= x,
ou seja, o produto vetorial NÃO é comutativo.

Passo 4

Para a associatividade temos de verificar se
( xwed>= y)wed>= z = xwed>= ( ywed>= z)
Basta encontrar x, y, z tais que as duas expressões dêem vetores diferentes.

Passo 5

Escolhemos
x=(1,0,0),
y=(0,1,0) e
z=(0,1,1).
Calculamos
xwed>= y = (0,0,1), ( xwed>= y)wed>= z = (0,0,1)wed>= (0,1,1) = (-1,0,0)
Por outro lado
ywed>= z = (0,1,0)wed>= (0,1,1) = (1,0,0), xwed>= ( ywed>= z) = (1,0,0)wed>= (1,0,0) = (0,0,0)
Como
( xwed>= y)wed>= z =(-1,0,0) neq (0,0,0) = xwed>= ( ywed>= z),
o produto vetorial NÃO é associativo.

Resposta

O produto vetorial em R^3 é anti-comutativo (logo não comutativo) e falha a associatividade, como demonstrado acima.

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