Um produtor de frutas sabe que a proporção de frutas maduras que estragam após estarem uma semana estocadas à temperatura ambiente é de
. Se as frutas são acondicionas em caixas com 8 unidades, determine:
a) A probabilidade de que, em uma caixa, nenhuma fruta esteja estragada, após uma semana.
b) A probabilidade de que mais de duas frutas estejam estragadas em uma caixa, após uma semana.
c) Quantas frutas boas esperam-se após uma semana num lote com 50 caixas dessas frutas?
a) A probabilidade de que, em uma caixa, nenhuma fruta esteja estragada, após uma semana.
b) A probabilidade de que mais de duas frutas estejam estragadas em uma caixa, após uma semana.
c) Quantas frutas boas esperam-se após uma semana num lote com 50 caixas dessas frutas?
Passo 1
O enunciado envolve uma variável aleatória que conta o número de frutas estragadas em uma caixa com
frutas, em que cada fruta estraga com probabilidade
(e, portanto, permanece boa com probabilidade
). O modelo apropriado é a distribuição binomial
. Para (a) e (b) usaremos a fórmula
e para (c) usaremos a esperança de frutas boas num lote de 50 caixas.
Passo 2
(a) Queremos a probabilidade de que nenhuma fruta esteja estragada, isto é
.
Aplicando a fórmula da binomial para :
Aplicando a fórmula da binomial para
Passo 3
(b) Queremos
. É mais simples usar o complemento:
Calculamos
e então
Passo 4
(c) Em cada caixa, o número de frutas boas é
, mas mais diretamente a probabilidade de uma fruta estar boa é
. Num lote de 50 caixas há
frutas, e o número esperado de frutas boas é
Resposta
(a)
(b)
(c) Espera-se frutas boas após uma semana.
(b)
(c) Espera-se