Um produtor de frutas sabe que a proporção de frutas maduras que estragam após estarem uma semana estocadas à temperatura ambiente é de 38 \%. Se as frutas são acondicionas em caixas com 8 unidades, determine:
a) A probabilidade de que, em uma caixa, nenhuma fruta esteja estragada, após uma semana.
b) A probabilidade de que mais de duas frutas estejam estragadas em uma caixa, após uma semana.
c) Quantas frutas boas esperam-se após uma semana num lote com 50 caixas dessas frutas?

Passo 1

O enunciado envolve uma variável aleatória que conta o número de frutas estragadas em uma caixa com n=8 frutas, em que cada fruta estraga com probabilidade p=0{,}38 (e, portanto, permanece boa com probabilidade q=1-p=0{,}62). O modelo apropriado é a distribuição binomial X\sim \mathrm{Bin}(n=8,p=0{,}38). Para (a) e (b) usaremos a fórmula
P(X=k)=\binom{8}{k}p^k q^{8-k},
e para (c) usaremos a esperança de frutas boas num lote de 50 caixas.

Passo 2

(a) Queremos a probabilidade de que nenhuma fruta esteja estragada, isto é P(X=0).
Aplicando a fórmula da binomial para k=0:
P(X=0)=\binom{8}{0}(0{,}38)^0(0{,}62)^8 = (0{,}62)^8 \approx 0{,}0219.

Passo 3

(b) Queremos P(X>2). É mais simples usar o complemento:
P(X>2)=1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].
Calculamos
P(X=1)=\binom{8}{1}(0{,}38)^1(0{,}62)^7, \quad P(X=2)=\binom{8}{2}(0{,}38)^2(0{,}62)^6,
e então
P(X>2)\approx 1 - \bigl[0{,}0219 + 0{,}1072 + 0{,}2298\bigr] \approx 0{,}6411.

Passo 4

(c) Em cada caixa, o número de frutas boas é 8-X, mas mais diretamente a probabilidade de uma fruta estar boa é q=0{,}62. Num lote de 50 caixas há 50\times8=400 frutas, e o número esperado de frutas boas é
400 \times 0{,}62 = 248.

Resposta

(a) P(\text{nenhuma estragada}) = (0{,}62)^8 \approx 0{,}0219.
(b) P(\text{mais de 2 estragadas}) \approx 0{,}6411.
(c) Espera-se 248 frutas boas após uma semana.

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