Suponha X com distribuição binomial com parâmetros n=4 e p, obtenha: E\left[\operatorname{sen}\left(\frac{\pi X}{2}\right)\right].

Passo 1

O enunciado diz que X\sim\mathrm{Bin}(n=4,p) e pede \mathbb{E}\bigl[\operatorname{sen}(\tfrac{\pi X}{2})\bigr]. Para isso, vamos usar a definição de expectativa de variável discreta:
\mathbb{E}\bigl[f(X)\bigr]=\sum_{k}f(k)\,P(X=k).

Passo 2

Pela definição,
\mathbb{E}\bigl[\operatorname{sen}(\tfrac{\pi X}{2})\bigr] =\sum_{k=0}^{4}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi k}{2}\bigr)\binom{4}{k}p^{k}(1-p)^{4-k}.

Passo 3

Calculamos \operatorname{sen}(\tfrac{\pi k}{2}) para k=0,1,2,3,4:
\operatorname{sen}(0)=0,\quad \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,\quad \operatorname{sen}(\pi)=0,\quad \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1,\quad \operatorname{sen}(2\pi)=0.

Passo 4

Só os termos k=1 e k=3 contribuem:
\mathbb{E}=\binom{4}{1}p(1-p)^{3} -\binom{4}{3}p^{3}(1-p).

Passo 5

Como \binom{4}{1}=\binom{4}{3}=4, fica
\mathbb{E} =4p(1-p)^{3}-4p^{3}(1-p) =4p(1-p)\bigl((1-p)^{2}-p^{2}\bigr) =4p(1-p)(1-2p).

Resposta

\mathbb{E}\bigl[\operatorname{sen}(\tfrac{\pi X}{2})\bigr]=4p(1-p)(1-2p).

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