Numa provedora de internet o SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor), recebe uma média de 3 ligações com reclamações por hora. Num dia normal de trabalho qual é a probabilidade de que:
a) Em uma hora não ocorram reclamações?
b) Ocorra pelo menos uma reclamação?
c) Ocorram no máximo 5 reclamações em uma hora?
d) Qual é o número esperado de reclamações num turno de 6 horas de trabalho?
e) Qual a probabilidade de que num turno de 6 horas ocorram 13 reclamações?

Passo 1

O enunciado diz que o número de ligações com reclamações em cada hora segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=3 reclamações por hora. Para resolver as letras (a) a (e) usaremos:
  1. A fórmula da probabilidade de Poisson:
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  1. A propriedade de que, para X\sim\text{Poisson}(\lambda), vale
E[X]=\lambda.
  1. A escala do parâmetro em função do tempo: em t horas o parâmetro vira \lambda_t=\lambda\,t.

Passo 2

(a) Queremos P(X=0) em uma hora, ou seja
P(X=0)=e^{-3}\,\frac{3^{0}}{0!}=e^{-3}.

Passo 3

(b) A probabilidade de ocorrer pelo menos uma reclamação é
P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-e^{-3}.

Passo 4

(c) A probabilidade de ocorrer no máximo 5 reclamações em uma hora é
P(X\le5)=\sum_{k=0}^{5}e^{-3}\,\frac{3^{k}}{k!}.

Passo 5

(d) Num turno de 6 horas, o parâmetro passa a ser \lambda_6=3\times6=18. A esperança, por propriedade da Poisson, é
E[\text{reclamações em 6h}]=\lambda_6=18.çõ

Passo 6

(e) A probabilidade de ocorrer exatamente 13 reclamações em 6 horas, com \lambda_6=18, é
P(Y=13)=e^{-18}\,\frac{18^{13}}{13!}.

Resposta

(a) P(X=0)=e^{-3}.
(b) P(X\ge1)=1-e^{-3}.
(c) P(X\le5)=\displaystyle\sum_{k=0}^{5}e^{-3}\,\frac{3^{k}}{k!}.
(d) E[\text{reclamações em 6h}]=18.çõ
(e) P(Y=13)=e^{-18}\,\tfrac{18^{13}}{13!}.

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