Um produtor de sementes afirma que
das sementes de certo tipo germinam. Você planta 5 destas sementes, compradas deste produtor. Qual a probabilidade de:
(a) Exatamente 2 sementes germinarem?
(b) No máximo 2 sementes germinarem?
(c) Suponha que após certo tempo, você tenha verificado que no máximo duas das sementes que plantou germinaram. Isto leva a descrer da afirmação do produtor de que
destas sementes germinam? Porque?
(a) Exatamente 2 sementes germinarem?
(b) No máximo 2 sementes germinarem?
(c) Suponha que após certo tempo, você tenha verificado que no máximo duas das sementes que plantou germinaram. Isto leva a descrer da afirmação do produtor de que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Você planta 5 sementes compradas do produtor. Logo, o número de tentativas é
. - O produtor afirma que a probabilidade de cada semente germinar é
. Em notação, . - As perguntas:
(a) Qual a probabilidade de exatamente 2 sementes germinarem?
(b) Qual a probabilidade de no máximo 2 sementes germinarem (ou seja, 0, 1 ou 2 sementes)?
(c) Supondo que você observou que no máximo 2 germinaram, isso leva a descrer da afirmação do produtor? Explique por quê.
Passo 2
Explicando o modelo (aula rápida e concreta): quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada tentativa com mesma probabilidade de sucesso, o número de sucessos segue a distribuição binomial. A fórmula geral é:
onde:
-
é a variável aleatória “número de sementes que germinam”, -
é o número de sementes plantadas ( aqui), -
é o número de sucessos desejados (por ex. ), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( ), -
é o coeficiente binomial, que conta quantas formas diferentes de obter sucessos em tentativas; ele é dado por
onde
significa
fatorial (por exemplo
).
Comentário didático: a ideia é multiplicar (i) quantas sequências de sucessos/fracassos dão exatamente
sucessos — isso é
— por (ii) a probabilidade de uma sequência específica com exatamente
sucessos e
fracassos, que é
.
Passo 3
Vamos calcular (a) a probabilidade de exatamente
sementes germinarem:
,
,
.
Primeiro o coeficiente binomial:
Agora aplique a fórmula:
Calcule passo a passo:
Multiplicando:
Portanto, a resposta para (a) é
.
Passo 4
Agora vamos calcular as probabilidades de
e
porque serão usadas para o item (b).
Para
:
Calcule:
Para
:
Calcule:
então
Resumo das probabilidades calculadas até agora:
Passo 5
Item (b): “No máximo 2 sementes germinarem” significa
.
Some os valores (mostrando a conta):
Portanto,
(aproximadamente
).
Passo 6
Item (c): interpretação — isto leva a descrer da afirmação do produtor?
Primeiro explique o raciocínio estatístico de forma simples: se o produtor afirma que
, então sob essa hipótese a chance de observar no máximo 2 sementes germinando em 5 tentativas é
, isto é, cerca de
. Esse número é o que seria chamado de “p-valor” para o evento observado (observação tão extrema ou mais extrema do que a observada, supondo
).
Como decidir se isso é suficiente para “descrer”? Em testes estatísticos costuma-se usar um nível de significância para tomar decisão:
- Se usamos o nível clássico de
( ), a probabilidade observada é um pouco maior que . Logo, estritamente falando, não é pequena o suficiente para rejeitar a afirmação ao nível de . - Se usamos um nível mais brando, por exemplo
( ), então e poderíamos considerar esse resultado como evidência para rejeitar a hipótese ao nível de .
Além disso, explique em linguagem simples: uma amostra de apenas 5 sementes é muito pequena — resultados raros (como 0, 1 ou 2 germinações) ainda podem acontecer por acaso mesmo quando
. Portanto, um único experimento com
tem pouca força para derrubar a afirmação do produtor de forma conclusiva.
Passo 7
Conclusão prática e incentivo: então, presuma isto ao responder (c):
- A observação de no máximo 2 germinações é improvável sob
, mas não impossível. Como o valor é ligeiramente maior que , comumente não se rejeita a afirmação do produtor ao nível de . Contudo, é evidência contra a afirmação em níveis menos exigentes (por ex. ). Também recomendo repetir o experimento com mais sementes para ter uma conclusão mais confiável — a amostra de 5 é pequena demais.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não necessariamente; (aprox.
), logo não rejeitamos
ao nível de
, embora haja evidência contra ao nível de
.
(b)
(c) Não necessariamente;