Um produtor de sementes afirma que 80 \% das sementes de certo tipo germinam. Você planta 5 destas sementes, compradas deste produtor. Qual a probabilidade de:
(a) Exatamente 2 sementes germinarem? (0,5)
(b) No máximo 2 sementes germinarem? (0,5)
(c) Suponha que após certo tempo, você tenha verificado que no máximo duas das sementes que plantou germinaram. Isto leva a descrer da afirmação do produtor de que 80 \% destas sementes germinam? Porque? (1,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Você planta 5 sementes compradas do produtor. Logo, o número de tentativas é n=5.
  • O produtor afirma que a probabilidade de cada semente germinar é 80\%. Em notação, p=0{,}80.
  • As perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de exatamente 2 sementes germinarem?
    (b) Qual a probabilidade de no máximo 2 sementes germinarem (ou seja, 0, 1 ou 2 sementes)?
    (c) Supondo que você observou que no máximo 2 germinaram, isso leva a descrer da afirmação do produtor? Explique por quê.

Passo 2

Explicando o modelo (aula rápida e concreta): quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada tentativa com mesma probabilidade de sucesso, o número de sucessos segue a distribuição binomial. A fórmula geral é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • X é a variável aleatória “número de sementes que germinam”,
  • n é o número de sementes plantadas ( n=5 aqui),
  • k é o número de sucessos desejados (por ex. k=2),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio ( p=0{,}80),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que conta quantas formas diferentes de obter k sucessos em n tentativas; ele é dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! significa n fatorial (por exemplo 5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1).
Comentário didático: a ideia é multiplicar (i) quantas sequências de sucessos/fracassos dão exatamente k sucessos — isso é \binom{n}{k} — por (ii) a probabilidade de uma sequência específica com exatamente k sucessos e n-k fracassos, que é p^k(1-p)^{n-k}.

Passo 3

Vamos calcular (a) a probabilidade de exatamente 2 sementes germinarem: n=5, k=2, p=0{,}80.
Primeiro o coeficiente binomial:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}= \frac{20}{2}=10.
Agora aplique a fórmula:
P(X=2)=\binom{5}{2}\,p^2(1-p)^{3}=10\cdot(0{,}80)^2\cdot(0{,}20)^3.
Calcule passo a passo:
(0{,}80)^2=0{,}64,\qquad (0{,}20)^3=0{,}008.
Multiplicando:
10\cdot 0{,}64\cdot 0{,}008 = 10\cdot 0{,}00512 = 0{,}0512.
Portanto, a resposta para (a) é P(X=2)=0{,}0512.

Passo 4

Agora vamos calcular as probabilidades de X=0 e X=1 porque serão usadas para o item (b).
Para k=0:
\binom{5}{0}=1,\qquad P(X=0)=1\cdot (0{,}80)^0\cdot(0{,}20)^5=(0{,}20)^5.
Calcule:
(0{,}20)^5=0{,}00032.
Para k=1:
\binom{5}{1}=5,\qquad P(X=1)=5\cdot(0{,}80)^1\cdot(0{,}20)^4.
Calcule:
(0{,}20)^4=0{,}0016,\qquad (0{,}80)\cdot 0{,}0016=0{,}00128,
então
P(X=1)=5\cdot 0{,}00128=0{,}0064.
Resumo das probabilidades calculadas até agora:
P(X=0)=0{,}00032,\quad P(X=1)=0{,}0064,\quad P(X=2)=0{,}0512.

Passo 5

Item (b): “No máximo 2 sementes germinarem” significa P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
Some os valores (mostrando a conta):
P(X\le2)=0{,}00032+0{,}0064+0{,}0512.
0{,}00032+0{,}0064=0{,}00672,\qquad 0{,}00672+0{,}0512=0{,}05792.
Portanto, P(X\le2)=0{,}05792 (aproximadamente 5{,}792\%).

Passo 6

Item (c): interpretação — isto leva a descrer da afirmação do produtor?
Primeiro explique o raciocínio estatístico de forma simples: se o produtor afirma que p=0{,}80, então sob essa hipótese a chance de observar no máximo 2 sementes germinando em 5 tentativas é P(X\le2)=0{,}05792, isto é, cerca de 5{,}8\%. Esse número é o que seria chamado de “p-valor” para o evento observado (observação tão extrema ou mais extrema do que a observada, supondo p=0{,}80).
Como decidir se isso é suficiente para “descrer”? Em testes estatísticos costuma-se usar um nível de significância para tomar decisão:
  • Se usamos o nível clássico de 5\% ( 0{,}05), a probabilidade observada 0{,}05792 é um pouco maior que 0{,}05. Logo, estritamente falando, não é pequena o suficiente para rejeitar a afirmação p=0{,}80 ao nível de 5\%.
  • Se usamos um nível mais brando, por exemplo 10\% ( 0{,}10), então 0{,}05792<0{,}10 e poderíamos considerar esse resultado como evidência para rejeitar a hipótese p=0{,}80 ao nível de 10\%.
Além disso, explique em linguagem simples: uma amostra de apenas 5 sementes é muito pequena — resultados raros (como 0, 1 ou 2 germinações) ainda podem acontecer por acaso mesmo quando p=0{,}80. Portanto, um único experimento com n=5 tem pouca força para derrubar a afirmação do produtor de forma conclusiva.

Passo 7

Conclusão prática e incentivo: então, presuma isto ao responder (c):
  • A observação de no máximo 2 germinações é improvável sob p=0{,}80, mas não impossível. Como o valor 0{,}05792 é ligeiramente maior que 0{,}05, comumente não se rejeita a afirmação do produtor ao nível de 5\%. Contudo, é evidência contra a afirmação em níveis menos exigentes (por ex. 10\%). Também recomendo repetir o experimento com mais sementes para ter uma conclusão mais confiável — a amostra de 5 é pequena demais.

Resposta

(a) 0{,}0512
(b) 0{,}05792
(c) Não necessariamente; P(X\le2)=0{,}05792 (aprox. 5{,}8\%), logo não rejeitamos p=0{,}80 ao nível de 5\%, embora haja evidência contra ao nível de 10\%.

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