Suponha que em uma grande rede de computadores, em
dos dias, ocorre alguma falha. Seja X a seguinte variável aleatória
número de dias com falhas na rede, considerando o período de de três dias.
(a) Construa a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X e trace seu gráfico
(b) Calcule o valor esperado desta v.a
(c) Ache a variância e o desvio padrāo da v.a
(d) Ache a função de distribuição acumulada da v.a
e trace seu gráfico.
(a) Construa a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X e trace seu gráfico
(b) Calcule o valor esperado desta v.a
(c) Ache a variância e o desvio padrāo da v.a
(d) Ache a função de distribuição acumulada da v.a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- Em
dos dias ocorre alguma falha na rede; portanto a probabilidade de falha em um dia é . - O período considerado tem
dias; logo o número de dias é . - A variável aleatória
é: número de dias com falhas na rede no período de 3 dias. Logo pode assumir os valores .
- Em
-
Perguntas:
(a) Construa a distribuição de probabilidades (pmf) dee trace o gráfico.
(b) Calcule o valor esperado de.
(c) Ache a variância e o desvio padrão de.
(d) Ache a função de distribuição acumulada (CDF) dee trace o gráfico.
Passo 2
Por que podemos modelar
com uma distribuição conhecida (explicação didática passo a passo):
- Estamos contando quantos dias, em 3 tentativas (dias), apresentam “sucesso” definido como “ocorre falha”. As condições que justificam o modelo são:
- O número de tentativas
é fixo e igual a . - Em cada dia a probabilidade de falha é a mesma,
. - Assumimos que os dias são independentes (o resultado de um dia não afeta os outros).
- O número de tentativas
- Essas três características (n fixo, mesma probabilidade p, independência) definem o modelo binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos em tentativas é:
onde:
-
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais dias, entre , terão falha), -
é a probabilidade de falha em um dia, -
é a probabilidade de não ter falha em um dia, -
é o número de dias com falha ( aqui).
Passo 3
Calculemos a distribuição de probabilidades ponto a ponto (explicando as contas):
- Dados:
, , .
- Para
:
Calcule
. Logo
- Para
:
Calcule
. Então
. Logo
- Para
:
Calcule
. Então
. Logo
- Para
:
Calcule
. Logo
Verificação da soma das probabilidades:
como deve ser.
Passo 4
Desenho do gráfico da função massa de probabilidade (pmf) — explicação de leitura e um esboço ASCII:
- A pmf dá uma barra em cada
com altura . Valores: -
Esboço do gráfico (eixo horizontal
, eixo vertical probabilidade):
(esta é uma representação aproximada para você visualizar as barras)
\n
0,45 ┤ █
0,40 ┤ █
0,35 ┤ █
0,30 ┤ █ █
0,25 ┤ █ █
0,20 ┤ █ █ █
0,15 ┤ █ █ █
0,10 ┤ █ █ █
0,05 ┤ █ █ █ █
0,00 ┼─┬──┬───┬───┬─
0 1 2 3
\n
(esta é uma representação aproximada para você visualizar as barras)
\n
0,45 ┤ █
0,40 ┤ █
0,35 ┤ █
0,30 ┤ █ █
0,25 ┤ █ █
0,20 ┤ █ █ █
0,15 ┤ █ █ █
0,10 ┤ █ █ █
0,05 ┤ █ █ █ █
0,00 ┼─┬──┬───┬───┬─
0 1 2 3
\n
- Interpretação: a barra em
é a mais alta ( ), ou seja, a ocorrência de exatamente 2 dias com falhas é a mais provável nesse modelo.
Passo 5
Cálculo do valor esperado
com explicação didática:
- Para uma distribuição binomial
, existe uma fórmula simples e muito útil:
O sentido dessa fórmula: se em média a probabilidade de sucesso por tentativa é
, em
tentativas esperamos
vezes essa média de sucessos.
- Aplicando aqui:
e :
Interpretação: em média, em 3 dias teremos
dias com falhas (ou seja, perto de 2 dias).
Passo 6
Cálculo da variância e do desvio padrão com explicação:
- Para a binomial há também uma fórmula direta:
O termo
(às vezes denotado por
) é a probabilidade de “fracasso” (aqui, sem falha). A variância mede a dispersão em torno da média.
- Aplicando:
, , :
- O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
(Escrevemos aproximadamente com três casas decimais; a forma exata é
.)
- Interpretação: a maioria das realizações de
ficará a menos de cerca de unidades da média .
Passo 7
Função de distribuição acumulada (CDF)
— definição e cálculo passo a passo:
- Para variável discreta,
é uma função em escadas: para um real ,
- Valores da CDF, por intervalos (usando as probabilidades já calculadas):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Esboço do gráfico da CDF (função em escadas) — representação ASCII e interpretação:
- A CDF é constante entre os inteiros e dá saltos nas posições
com alturas iguais às probabilidades pontuais.
\n
1,0 ┤ ┐
0,9 ┤ │
0,8 ┤ ┌────┘
0,7 ┤ │
0,6 ┤ │
0,5 ┤ ┌─────┘
0,4 ┤ │
0,3 ┤ ┌────┘
0,2 ┤ │
0,1 ┤ │
0,0 ┼─┬──┬──┬──┬─
<0 0 1 2 3 >
\n - Mais explicitamente, os níveis são:
- para
: , -
: , -
: , -
: , -
: .
- para
Resposta
(a)
]