Suponha que em uma grande rede de computadores, em 60 \% dos dias, ocorre alguma falha. Seja X a seguinte variável aleatória
\mathrm{X}= número de dias com falhas na rede, considerando o período de de três dias.
(a) Construa a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X e trace seu gráfico (1,0)
(b) Calcule o valor esperado desta v.a \mathrm{X},(0,5)
(c) Ache a variância e o desvio padrāo da v.a \mathrm{X},(0,5)
(d) Ache a função de distribuição acumulada da v.a X e trace seu gráfico. (1,0)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informações dadas:
    • Em 60\% dos dias ocorre alguma falha na rede; portanto a probabilidade de falha em um dia é p=0,6.
    • O período considerado tem 3 dias; logo o número de dias é n=3.
    • A variável aleatória X é: número de dias com falhas na rede no período de 3 dias. Logo X pode assumir os valores \{0,1,2,3\}.
  • Perguntas:
    (a) Construa a distribuição de probabilidades (pmf) de X e trace o gráfico.
    (b) Calcule o valor esperado de X.
    (c) Ache a variância e o desvio padrão de X.
    (d) Ache a função de distribuição acumulada (CDF) de X e trace o gráfico.

Passo 2

Por que podemos modelar X com uma distribuição conhecida (explicação didática passo a passo):
  • Estamos contando quantos dias, em 3 tentativas (dias), apresentam “sucesso” definido como “ocorre falha”. As condições que justificam o modelo são:
    1. O número de tentativas n é fixo e igual a 3.
    2. Em cada dia a probabilidade de falha é a mesma, p=0,6.
    3. Assumimos que os dias são independentes (o resultado de um dia não afeta os outros).
  • Essas três características (n fixo, mesma probabilidade p, independência) definem o modelo binomial. A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k dias, entre n, terão falha),
  • p é a probabilidade de falha em um dia,
  • 1-p é a probabilidade de não ter falha em um dia,
  • k é o número de dias com falha ( k=0,1,2,3 aqui).

Passo 3

Calculemos a distribuição de probabilidades ponto a ponto (explicando as contas):
  • Dados: n=3, p=0,6, 1-p=0,4.
  1. Para k=0:
P(X=0)=\binom{3}{0}\,0,6^{0}\,0,4^{3}=1\cdot 1\cdot 0,4^{3}.
Calcule 0,4^{3}=0,4\cdot 0,4\cdot 0,4=0,064. Logo
P(X=0)=0,064.
  1. Para k=1:
P(X=1)=\binom{3}{1}\,0,6^{1}\,0,4^{2}=3\cdot 0,6\cdot 0,4^{2}.
Calcule 0,4^{2}=0,16. Então 3\cdot 0,6\cdot 0,16=3\cdot 0,096=0,288. Logo
P(X=1)=0,288.
  1. Para k=2:
P(X=2)=\binom{3}{2}\,0,6^{2}\,0,4^{1}=3\cdot 0,6^{2}\cdot 0,4.
Calcule 0,6^{2}=0,36. Então 3\cdot 0,36\cdot 0,4=3\cdot 0,144=0,432. Logo
P(X=2)=0,432.
  1. Para k=3:
P(X=3)=\binom{3}{3}\,0,6^{3}\,0,4^{0}=1\cdot 0,6^{3}\cdot 1.
Calcule 0,6^{3}=0,216. Logo
P(X=3)=0,216.
Verificação da soma das probabilidades:
0,064+0,288+0,432+0,216=1,000,
como deve ser.

Passo 4

Desenho do gráfico da função massa de probabilidade (pmf) — explicação de leitura e um esboço ASCII:
  • A pmf dá uma barra em cada k=0,1,2,3 com altura P(X=k). Valores:
    • P(X=0)=0,064
    • P(X=1)=0,288
    • P(X=2)=0,432
    • P(X=3)=0,216
Esboço do gráfico (eixo horizontal k, eixo vertical probabilidade):
(esta é uma representação aproximada para você visualizar as barras)
\n
0,45 ┤ █
0,40 ┤ █
0,35 ┤ █
0,30 ┤ █ █
0,25 ┤ █ █
0,20 ┤ █ █ █
0,15 ┤ █ █ █
0,10 ┤ █ █ █
0,05 ┤ █ █ █ █
0,00 ┼─┬──┬───┬───┬─
0 1 2 3
\n
  • Interpretação: a barra em k=2 é a mais alta ( 0,432), ou seja, a ocorrência de exatamente 2 dias com falhas é a mais provável nesse modelo.

Passo 5

Cálculo do valor esperado E[X] com explicação didática:
  • Para uma distribuição binomial \mathrm{Binomial}(n,p), existe uma fórmula simples e muito útil:
E[X]=n\,p.
O sentido dessa fórmula: se em média a probabilidade de sucesso por tentativa é p, em n tentativas esperamos n vezes essa média de sucessos.
  • Aplicando aqui: n=3 e p=0,6:
E[X]=3\cdot 0,6=1,8.
Interpretação: em média, em 3 dias teremos 1,8 dias com falhas (ou seja, perto de 2 dias).

Passo 6

Cálculo da variância e do desvio padrão com explicação:
  • Para a binomial há também uma fórmula direta:
\operatorname{Var}(X)=n\,p\,(1-p).
O termo 1-p (às vezes denotado por q) é a probabilidade de “fracasso” (aqui, sem falha). A variância mede a dispersão em torno da média.
  • Aplicando: n=3, p=0,6, 1-p=0,4:
\operatorname{Var}(X)=3\cdot 0,6\cdot 0,4=3\cdot 0,24=0,72.
  • O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_X=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}=\sqrt{0,72}\approx 0,849.
(Escrevemos aproximadamente com três casas decimais; a forma exata é \sqrt{0,72}.)
  • Interpretação: a maioria das realizações de X ficará a menos de cerca de 0,85 unidades da média 1,8.

Passo 7

Função de distribuição acumulada (CDF) F(x)=P(X\le x) — definição e cálculo passo a passo:
  • Para variável discreta, F(x) é uma função em escadas: para um real x,
F(x)=P(X\le x)=\sum_{k:\,k\le x} P(X=k).
  • Valores da CDF, por intervalos (usando as probabilidades já calculadas):
Para x<0:
F(x)=0.
Para 0\le x<1:
F(x)=P(X\le 0)=P(X=0)=0,064.
Para 1\le x<2:
F(x)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,064+0,288=0,352.
Para 2\le x<3:
F(x)=P(X\le 2)=0,352+0,432=0,784.
Para x\ge 3:
F(x)=P(X\le 3)=1,0.

Passo 8

Esboço do gráfico da CDF (função em escadas) — representação ASCII e interpretação:
  • A CDF é constante entre os inteiros e dá saltos nas posições 0,1,2,3 com alturas iguais às probabilidades pontuais.
    \n
    1,0 ┤ ┐
    0,9 ┤ │
    0,8 ┤ ┌────┘
    0,7 ┤ │
    0,6 ┤ │
    0,5 ┤ ┌─────┘
    0,4 ┤ │
    0,3 ┤ ┌────┘
    0,2 ┤ │
    0,1 ┤ │
    0,0 ┼─┬──┬──┬──┬─
    <0 0 1 2 3 >
    \n
  • Mais explicitamente, os níveis são:
    • para x<0: F(x)=0,
    • 0\le x<1: F(x)=0,064,
    • 1\le x<2: F(x)=0,352,
    • 2\le x<3: F(x)=0,784,
    • x\ge 3: F(x)=1.

Resposta

(a) P(X=0)=0,064,\; P(X=1)=0,288,\; P(X=2)=0,432,\; P(X=3)=0,216.\) (b) \(E[X]=1,8.\) \text{(c)} \(\operatorname{Var}(X)=0,72,\; \sigma_X=\sqrt{0,72}\approx 0,849.\) (d) \(F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 0,064, & 0\le x<1,\\[4pt] 0,352, & 1\le x<2,\\[4pt] 0,784, & 2\le x<3,\\[4pt] 1, & x\ge 3. \end{cases}]

Exercícios relacionados