Sabe-se que 20 % dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não-sobreviventes:
b) Calcular E(X) e Var(X) ; R: E(X)=4 e Var(X)=3,2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que 20% dos animais que passam por um certo tratamento não sobrevivem. Esse tratamento foi aplicado em 20 animais, e queremos descobrir duas coisas: o valor esperado $ E(X) $ e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ do número de animais que não sobrevivem. Para resolver isso, a gente vai precisar entender sobre Distribuição Binomial, que é ótima para esses casos onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da Distribuição Binomial que vamos usar. A Distribuição Binomial é definida por dois parâmetros:
  • $ n $: número de tentativas (no nosso caso, 20 animais).
  • $ p $: probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui, “sucesso” vai ser um animal não sobreviver, então $ p = 20% = 0,2 $).
Então, nosso $ X $ segue uma distribuição binomial com $ n = 20 $ e $ p = 0,2 $.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Valor Esperado $ E(X) $. Na Distribuição Binomial, o valor esperado é dado por:
E(X)
Substituindo nossos valores:
E(X) = n times p

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a Variância $ \operatorname{Var}(X) $. Para a Distribuição Binomial, a variância é calculada por:
Var(X)
Substituindo nossos valores:
Var(X) = n times p times (1 - p)

Resposta

$ E(X) = 4 $ e $ \operatorname{Var}(X) = 3,2 $.

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