No produtor
, faça
,
Determine
, em termos dos vetores unitários, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da força magnética exercida sobre uma carga em movimento. O conteúdo envolve o produto vetorial entre a velocidade da carga e o campo magnético. Para resolver, vamos usar a fórmula da força magnética:
Aqui, q é a carga, v é a velocidade, B é o campo magnético, e F é a força resultante. Queremos encontrar o vetor B dado que $ \mathrm{B}{\mathrm{x}} = \mathrm{B}{\mathrm{y}} $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já temos:
- q = 2 C
- $ \vec{v} = 2 \hat{\imath} + 4 \hat{\jmath} + 6 \hat{k} $
- $ \vec{F} = 4 \hat{\imath} - 20 \hat{\jmath} + 13 \hat{k} $
Queremos encontrar $ \vec{B} = B_x \hat{\imath} + B_y \hat{\jmath} + B_z \hat{k} $, sabendo que $ B_x = B_y $.
Passo 3
Vamos começar calculando o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $. O produto vetorial de dois vetores $ \vec{A} = A_x \hat{\imath} + A_y \hat{\jmath} + A_z \hat{k} $ e $ \vec{C} = C_x \hat{\imath} + C_y \hat{\jmath} + C_z \hat{k} $ é dado por:
Aplicando isso para $ \vec{v} \times \vec{B} $:
Passo 4
Agora, substituímos $ \vec{v} \times \vec{B} $ na equação da força:
Distribuindo o 2:
Passo 5
Sabemos que $ \vec{F} = 4 \hat{\imath} - 20 \hat{\jmath} + 13 \hat{k} $. Assim, igualamos os componentes correspondentes:
Passo 6
Além disso, temos a condição $ B_x = B_y $. Vamos usar isso para simplificar as equações.
Substituindo $ B_y = B_x $ nas equações:
- $ 8 B_z - 12 B_x = 4 $
- $ -4 B_z + 12 B_x = -20 $
- $ 4 B_x - 8 B_x = 13 $ ⇒ $ -4 B_x = 13 $ ⇒ $ B_x = -\frac{13}{4} $
Passo 7
Agora que temos $ B_x = -\frac{13}{4} $, e como $ B_x = B_y $, também $ B_y = -\frac{13}{4} $.
Vamos substituir $ B_x = B_y = -\frac{13}{4} $ na primeira equação para encontrar $ B_z $:
Resposta
Portanto, o campo magnético $ \vec{B} $ é: