Um produtor vende sementes em pacotes com 20 sementes em cada um. Os pacotes que apresentarem duas ou mais de uma semente sem germinar serão indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 80 %. (i) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado? (ii) Se o produtor vende 1000 pacotes, qual é o número esperado de pacotes indenizados? (iii) Quando o pacote é indenizado, o produtor tem um prejuízo de R$1,20e se o pacote não for indenizado ele tem um lucro de R$2,50. Qual o lucro líquido esperado por pacote? (iv) Qual o número esperado e o desvio padrão do número de sementes que não germinam por pacote?

Passo 1

O enunciado descreve uma situação de teste de germinação de 20 sementes por pacote, onde cada semente germina com probabilidade 0,8. Vamos chamar de X o número de sementes que NÃO germinam em um pacote. Então X~Binomial(n=20,p=0,2). Precisamos usar propriedades da distribuição binomial para responder (i) a (iv).

Passo 2

Vamos calcular a probabilidade de um pacote NÃO ser indenizado, isto é, de X≤1. Temos P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1).
Para P(X=0) e P(X=1) usamos a fórmula geral P(X=k)=C(n,k)·pk·(1−p){n−k}. Assim:
P(X<=1)=0,8^20+20cdot0,2cdot0,8^19

Passo 3

O número esperado de pacotes indenizados em 1000 é 1000 vezes a probabilidade de X≥2, ou seja, 1000·[1−P(X≤1)].

Passo 4

O lucro líquido por pacote é uma variável aleatória L que vale −1,20 se X≥2 (indenizado) e +2,50 se X≤1. Então:
E(L)=-1,20cdot P(X>=2)+2,50cdot P(X<=1)

Passo 5

Para (iv), X~Binomial(20,0,2) tem esperança E(X)=n·p=20·0,2=4 e variância Var(X)=n·p·(1−p)=20·0,2·0,8=3,2. O desvio padrão é sigmaX=raiz3,2approx1,789

Resposta

(i) P(não indenizado)=0,8^20+20cdot0,2cdot0,8^19approx0,06917ã (ii) Espera-se cerca de 1000times(1-0,06917)approx931 pacotes indenizados. (iii) Lucro líquido esperado por pacote
(iv) Número esperado de sementes que não germinam por pacote E(L)=-1,20times0,93083+2,50times0,06917approx-0,944 R$ e desvio padrão E(X)=4

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