Produtos notáveis e fatoração.
Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto da soma pela diferença.
(5a-1)(5a+1)

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar de volta a expressão
(5a-1)!(5a+1)
usando o produto notável “soma vezes diferença”. Vamos aplicar a fórmula
(x - y)(x + y) = x^2 - y^2
identificando x = 5a e y = 1.

Passo 2

Aplicando diretamente o produto notável, temos
(5a-1)!(5a+1) = l(5ar)^2 - (1)^2

Passo 3

Agora simplificamos:
l(5ar)^2 - 1 = 25a^2 - 1

Passo 4

Para fatorar de volta, reconhecemos outra vez a diferença de quadrados
25a^2 - 1 = l(5ar)^2 - 1^2 = l(5a-1r)!l(5a+1r),
que coincide exatamente com a expressão original.

Resposta

(a) A expansão é
25a^2 - 1
(b) A fatoração desse resultado reconduz à forma
(5a-1)!(5a+1),
igual à dada.

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