Produtos notáveis e fatoração.
Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Produto da soma pela diferença.
(3+a raiz2)(3-a raiz2)

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão
(3 + araiz2)(3 - araiz2)
O conteúdo envolve o produto notável da soma pela diferença e a fatoração de diferença de quadrados. Para resolver, vamos usar a identidade
(x+y)(x-y)=x^2-y^2

Passo 2

Aplicando essa identidade com x=3 e y=araiz2 temos
(3 + araiz2)(3 - araiz2) = 3^2 - (araiz2)^2 = 9 - a^2cdot2 = 9 - 2a^2
Assim, a expressão expandida é 9 - 2a^2.

Passo 3

Agora vamos fatorar o polinômio 9 - 2a^2. Reconhecemos de novo uma diferença de quadrados, pois
9 - 2a^2 = (3)^2 - (raiz2,a)^2,
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9 - 2a^2 = (3 - araiz2)(3 + araiz2)
Repare que essa fatoração coincide com a expressão original, confirmando a consistência.

Resposta

(a) 9 - 2a^2
(b) (3 + araiz2)(3 - araiz2)

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