Um professor aplica uma prova surpresa, e a probabilidade de que um aluno esteja preparado para ela é de 0,5. Em uma turma de 16 alunos, qual é a probabilidade de que exatamente 8 alunos estejam preparados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Um professor dá uma prova surpresa para uma turma de 16 alunos, e cada aluno tem 50% de chance de estar preparado. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 8 desses 16 alunos estarem preparados para a prova? Vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações com resultados de “sucesso” ou “fracasso”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade binomial. Ela ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos ocorrer em um número fixo de tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante.
Aqui, cada aluno sendo preparado é um “sucesso”. Temos:
- Número total de alunos (tentativas):
- Número de alunos preparados que queremos:
- Probabilidade de um aluno estar preparado (sucesso):
- Probabilidade de um aluno não estar preparado (fracasso):
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Combinação
: -
Probabilidade dos 8 alunos estarem preparados:
-
Probabilidade dos 8 alunos não estarem preparados:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
Primeiro, multiplicamos as probabilidades:
Então:
Resposta
A probabilidade de exatamente 8 dos 16 alunos estarem preparados para a prova é aproximadamente 19,6%.