Um professor aplica uma prova surpresa, e a probabilidade de que um aluno esteja preparado para ela é de 0,5. Em uma turma de 16 alunos, qual é a probabilidade de que exatamente 8 alunos estejam preparados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Um professor dá uma prova surpresa para uma turma de 16 alunos, e cada aluno tem 50% de chance de estar preparado. A pergunta é: qual a probabilidade de exatamente 8 desses 16 alunos estarem preparados para a prova? Vamos precisar usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações com resultados de “sucesso” ou “fracasso”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a probabilidade binomial. Ela ajuda a calcular a chance de um certo número de sucessos ocorrer em um número fixo de tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante.
Aqui, cada aluno sendo preparado é um “sucesso”. Temos:
  • Número total de alunos (tentativas):
  • Número de alunos preparados que queremos:
  • Probabilidade de um aluno estar preparado (sucesso):
  • Probabilidade de um aluno não estar preparado (fracasso):

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times q^n - k
Onde:
  • é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Combinação C(16, 8) = 16!8! times (16 - 8)! = 16!8! times 8! = 12,870 :
    p^k = 0,5^8 = 0,00390625
  2. Probabilidade dos 8 alunos estarem preparados:
    q^n - k = 0,5^16 - 8 = 0,5^8 = 0,00390625
  3. Probabilidade dos 8 alunos não estarem preparados:

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo na fórmula:
P(X = 8) = 12,870 times 0,00390625 times 0,00390625
Primeiro, multiplicamos as probabilidades:
0,00390625 times 0,00390625 = 0,0000152587890625
Então:
P(X = 8) = 12,870 times 0,0000152587890625 approx 0,196

Resposta

A probabilidade de exatamente 8 dos 16 alunos estarem preparados para a prova é aproximadamente 19,6%.

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