Se X sim N(50,16), encontre o valor de b tal que P(X>b)=0,05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é sobre a distribuição normal, que é um conceito fundamental em estatística. A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância (ou seja, desvio padrão ). A nossa missão é encontrar o valor de tal que a probabilidade de ser maior que seja de 5%, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que isso significa. Queremos achar aquele valor que deixa apenas 5% da distribuição acima dele. Para fazer isso, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística que nos ajude a encontrar valores da distribuição normal.

Passo 3

A distribuição normal padrão é aquela com média 0 e desvio padrão 1, denotada por Z = X - musigma . Para converter nossa variável para a distribuição , usamos a fórmula:
No nosso caso, e .

Passo 4

Queremos encontrar tal que . Isso é o mesmo que dizer que , já que a área total sob a curva normal é 1 (ou 100%).

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor de P(Z <= z) = 0,95 Rightarrow z approx 1,645 na distribuição normal padrão que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0,95. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, descobrimos que:

Passo 6

Com o valor de z = b - musigma Rightarrow b = mu + z cdot sigma encontrado, podemos voltar à nossa fórmula de conversão para encontrar b = 50 + 1,645 cdot 4 :
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos calcular:
1,645 cdot 4 = 6,58
Então:
b = 50 + 6,58 = 56,58

Resposta

O valor de é 56,58.

Exercícios relacionados