O professor observa que a probabilidade de um aluno acessar o portal da escola no final de semana para revisar o material é de 0,4. Em uma turma de 20 alunos, qual é a probabilidade de que pelo menos 5 alunos acessem o portal no final de semana?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de alunos acessarem o portal da escola no fim de semana para revisar o material. A gente sabe que essa probabilidade individual é de 0,4. Temos uma turma de 20 alunos e queremos descobrir a chance de pelo menos 5 deles acessarem o portal nesse período. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. No nosso caso:
  • Número de tentativas (n): 20 alunos
  • Probabilidade de sucesso §: 0,4 (um aluno acessar o portal)
  • Número de sucessos (k): queremos pelo menos 5 alunos acessando, ou seja,

Passo 3

A probabilidade de pelo menos 5 alunos acessarem o portal é representada por P(X >= 5) = 1 - P(X < 5) . Para calcular isso, é mais fácil calcular o complementar, que é a probabilidade de menos de 5 alunos acessarem, ou seja, , e depois subtrair esse valor de 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X < 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) , que é a soma das probabilidades de exatamente 0, 1, 2, 3 e 4 alunos acessarem o portal:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
  • é a combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  1. Para k = 0:
P(0) = binom200 times 0,4^0 times 0,6^20 = 1 times 1 times 0,6^20 approx 0,000003
  1. Para k = 1:
P(1) = binom201 times 0,4^1 times 0,6^19 = 20 times 0,4 times 0,6^19 approx 0,0001
  1. Para k = 2:
P(2) = binom202 times 0,4^2 times 0,6^18 = 190 times 0,16 times 0,6^18 approx 0,0015
  1. Para k = 3:
P(3) = binom203 times 0,4^3 times 0,6^17 = 1140 times 0,064 times 0,6^17 approx 0,013
  1. Para k = 4:
P(4) = binom204 times 0,4^4 times 0,6^16 = 4845 times 0,0256 times 0,6^16 approx 0,054

Passo 6

Agora, somando todas essas probabilidades:
P(X < 5) approx 0,000003 + 0,0001 + 0,0015 + 0,013 + 0,054 approx 0,0686

Passo 7

Finalmente, calculamos a probabilidade de pelo menos 5 alunos acessarem o portal:
P(X >= 5) = 1 - 0,0686 = 0,9314

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 5 alunos acessem o portal no final de semana é de aproximadamente 93,14%.

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