Um professor chegou a uma classe de sétimo ano e pediu aos alunos que considerassem três números reais de modo que a soma dos seus cubos fosse igual a 30 ; a soma dos seus valores fosse igual a 3 e que o produto entre eles fosse igual a 4 . Qual fosse o valor da soma de seus inversos?
a) 2 .
b) 1 .
c)
.
d)
.
a) 2 .
b) 1 .
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá três números reais (vou chamá‑los de
,
e
) e fornece estas informações:
- A soma dos cubos é
. - A soma dos números é
. - O produto dos três é
.
O que o problema pede é a soma dos inversos, isto é:
Passo 2
Uma observação útil (fácil de demonstrar) é que a soma dos inversos pode ser escrita em termos dos produtos:
Explicando: colocar tudo sobre o mesmo denominador
dá
Portanto, para encontrar a soma dos inversos basta determinar
(vou chamar essa soma de
) e dividir por
.
Passo 3
Logo precisamos achar
. Para isso usamos uma relação entre somas de potências e somas simétricas para três variáveis. Uma identidade muito útil é:
Vou justificar rapidamente essa identidade de forma simples: desenvolvendo
e recolhendo termos, ou usando a forma equivalente
e então substituir
; ao rearranjar obtém‑se a fórmula acima. Essa é uma versão do que em álgebra chamamos identidades de Newton para três variáveis.
Passo 4
Agora aplico a identidade com os dados conhecidos. Denotando
,
e
, a identidade fica:
Substituo os valores dados:
,
e
. Então
Calculo passo a passo:
então
Somando
dá
, logo
Passo termos:
, portanto
Passo 5
Agora volto à soma dos inversos:
Como fração é a forma natural de apresentar o resultado, a soma dos inversos é
. (Se preferir em decimal, é
.)