Um professor chegou a uma classe de sétimo ano e pediu aos alunos que considerassem três números reais de modo que a soma dos seus cubos fosse igual a 30 ; a soma dos seus valores fosse igual a 3 e que o produto entre eles fosse igual a 4 . Qual fosse o valor da soma de seus inversos?
a) 2 .
b) 1 .
c) \frac{1}{2}.
d) \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado dá três números reais (vou chamá‑los de a, b e c) e fornece estas informações:
  • A soma dos cubos é \;a^{3}+b^{3}+c^{3}=30.
  • A soma dos números é \;a+b+c=3.
  • O produto dos três é \;abc=4.
O que o problema pede é a soma dos inversos, isto é:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.

Passo 2

Uma observação útil (fácil de demonstrar) é que a soma dos inversos pode ser escrita em termos dos produtos:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{ab+ac+bc}{abc}.
Explicando: colocar tudo sobre o mesmo denominador abc
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ac+ab}{abc}.
Portanto, para encontrar a soma dos inversos basta determinar \;ab+ac+bc (vou chamar essa soma de e_{2}) e dividir por abc.

Passo 3

Logo precisamos achar e_{2}=ab+ac+bc. Para isso usamos uma relação entre somas de potências e somas simétricas para três variáveis. Uma identidade muito útil é:
a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+ac+bc)+3abc.
Vou justificar rapidamente essa identidade de forma simples: desenvolvendo (a+b+c)^{3} e recolhendo termos, ou usando a forma equivalente
a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)\bigl(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\bigr),
e então substituir a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc); ao rearranjar obtém‑se a fórmula acima. Essa é uma versão do que em álgebra chamamos identidades de Newton para três variáveis.

Passo 4

Agora aplico a identidade com os dados conhecidos. Denotando S_{1}=a+b+c, E_{2}=ab+ac+bc e E_{3}=abc, a identidade fica:
a^{3}+b^{3}+c^{3}=S_{1}^{3}-3S_{1}E_{2}+3E_{3}.
Substituo os valores dados: a^{3}+b^{3}+c^{3}=30, S_{1}=3 e E_{3}=4. Então
30 = 3^{3}-3\cdot 3\cdot E_{2}+3\cdot 4.
Calculo passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 3\cdot 4=12,
então
30 = 27 - 9E_{2} + 12.
Somando 27+12 39, logo
30 = 39 - 9E_{2}.
Passo termos: 9E_{2}=39-30=9, portanto
E_{2}=1.

Passo 5

Agora volto à soma dos inversos:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{E_{2}}{E_{3}}=\frac{1}{4}.
Como fração é a forma natural de apresentar o resultado, a soma dos inversos é \dfrac{1}{4}. (Se preferir em decimal, é 0,25.)

Resposta

\dfrac{1}{4}

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