Rosângela gosta muito de viajar. Em sua última viagem, resolveu visitar a África, curiosa de conhecer as famosas pirâmides do Egito. Vendo a pirâmide de Quéfren, localizada no vale do Nilo, o guia turística a informou de que a inclinação das faces da pirâmide era de aproximadamente
com a horizontal. Por medidas de segurança eles ficaram a uma distância de 84 metros perpendicularmente à base, de onde se tem um ângulo de elevação ao topo da pirâmide de
. Quanto vale, em metros, a extensão da aresta da base ao ápice da pirâmide? Use sen
.
a) 140 .
b) 150 .
c) 160 .
d) 170 .
a) 140 .
b) 150 .
c) 160 .
d) 170 .
Passo 1
O enunciado pede: “Quanto vale, em metros, a extensão da aresta da base ao ápice da pirâmide?” — isto é, o comprimento da aresta lateral que vai de um vértice da base até o ápice da pirâmide (a aresta lateral).
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- A inclinação das faces da pirâmide com a horizontal é de
. - O ponto de observação está a
metros “perpendicularmente à base” (isto será interpretado como distância horizontal do pé da pirâmide até o observador, ou seja, a distância horizontal do centro da base até o ponto de observação — esse é o uso padrão em problemas de ângulo de elevação). - A partir desse ponto a medida do ângulo de elevação até o topo (ápice) é
. - Foi dado que
. (Daí e, por complementaridade, .)
O que precisamos encontrar: o comprimento da aresta lateral (do vértice da base até o ápice).
Agora vamos começar a montar a resolução passo a passo, explicando toda a trigonometria e a geometria envolvida.
Agora vamos começar a montar a resolução passo a passo, explicando toda a trigonometria e a geometria envolvida.
Passo 2
Vamos achar a altura
da pirâmide a partir do ponto em que o grupo está.
Explicação do método (fórmula que vou usar): quando temos um ponto no chão a uma distância horizontal do pé vertical do ápice, e o ângulo de elevação até o ápice é
, a relação trigonométrica no triângulo retângulo vertical é
Explicação do método (fórmula que vou usar): quando temos um ponto no chão a uma distância horizontal
onde
é a altura da pirâmide e
é a distância horizontal do observador até o pé da pirâmide. Aqui
e, segundo o enunciado,
m.
Cálculo:
Cálculo:
Sabendo
e
, temos
Logo
Portanto a altura da pirâmide é
metros.
Passo 3
Agora vamos relacionar a inclinação das faces com as dimensões da base e a aresta lateral.
Explicação geométrica: a pirâmide de Quéfren é (assumimos) uma pirâmide de base quadrada e o ápice está sobre o centro da base. Considere uma face triangular (uma face lateral). Nessa face, a linha que vai do ápice até o ponto médio do lado da base é chamada de apótema (ou altura da face) — vou chamar de . Essa linha
está contida na face e, conforme enunciado, forma com a horizontal o ângulo igual à inclinação da face:
. Na projeção horizontal, o apótema
tem projeção igual a metade do lado da base, isto é,
, onde
é o comprimento do lado da base. Na vertical, a projeção é a altura
. Assim, no triângulo retângulo formado por
(vertical),
(horizontal) e
(hipotenusa oblíqua na face) vale
Explicação geométrica: a pirâmide de Quéfren é (assumimos) uma pirâmide de base quadrada e o ápice está sobre o centro da base. Considere uma face triangular (uma face lateral). Nessa face, a linha que vai do ápice até o ponto médio do lado da base é chamada de apótema (ou altura da face) — vou chamar de
Usarei a relação com o seno para achar
primeiro, pois já temos
e
é conhecido via complementaridade:
Passo 4
Calcular o apótema
(distância do ápice até o ponto médio de um lado da base), usando
Então
Interpretação:
é a aresta inclinada da face do ápice até o meio do lado da base.
Passo 5
Agora vamos calcular a aresta lateral
que vai de um vértice da base até o ápice (o que o enunciado pediu).
Geometria envolvida: na face triangular, com vértices (ápice — midpoint do lado — vértice do lado), temos um triângulo retângulo em que os catetos são (ápice ao midpoint) e
(midpoint ao vértice), e a hipotenusa é
(ápice ao vértice). Assim
Geometria envolvida: na face triangular, com vértices (ápice — midpoint do lado — vértice do lado), temos um triângulo retângulo em que os catetos são
Mas também sabemos que, do triângulo vertical que define
,
Se isolarmos
da segunda relação e substituirmos na expressão de
obtemos uma expressão só em
e
. Fazendo isso:
então
Esta fórmula é conveniente porque já conhecemos
e
.
Passo 6
Substituir os valores numéricos encontrados:
Calcular
. Primeiro
Então
E
Subtraindo:
Portanto
Passo 7
Calcular a aproximação numérica para
:
Arredondando razoavelmente, a aresta lateral (do vértice da base ao ápice) vale aproximadamente
metros.
Passo 8
Comentário final e encorajamento: resolvemos usando trigonometria elementar (definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos) e a relação geométrica entre altura, apótema da face e a aresta lateral. Fiz passo a passo para que na prova você possa reproduzir: primeiro obter a altura pela tangente do ângulo de elevação, depois usar o seno da inclinação da face para achar o apótema e, por fim, relacionar apótema e aresta lateral por pitágoras no triângulo da face.