Rosângela gosta muito de viajar. Em sua última viagem, resolveu visitar a África, curiosa de conhecer as famosas pirâmides do Egito. Vendo a pirâmide de Quéfren, localizada no vale do Nilo, o guia turística a informou de que a inclinação das faces da pirâmide era de aproximadamente 53^{\circ} com a horizontal. Por medidas de segurança eles ficaram a uma distância de 84 metros perpendicularmente à base, de onde se tem um ângulo de elevação ao topo da pirâmide de 37^{\circ}. Quanto vale, em metros, a extensão da aresta da base ao ápice da pirâmide? Use sen 37^{\circ} \cong \frac{3}{5}.
a) 140 .
b) 150 .
c) 160 .
d) 170 .

Passo 1

O enunciado pede: “Quanto vale, em metros, a extensão da aresta da base ao ápice da pirâmide?” — isto é, o comprimento da aresta lateral que vai de um vértice da base até o ápice da pirâmide (a aresta lateral).
Informações dadas no enunciado:
  • A inclinação das faces da pirâmide com a horizontal é de 53^\circ.
  • O ponto de observação está a 84 metros “perpendicularmente à base” (isto será interpretado como distância horizontal do pé da pirâmide até o observador, ou seja, a distância horizontal do centro da base até o ponto de observação — esse é o uso padrão em problemas de ângulo de elevação).
  • A partir desse ponto a medida do ângulo de elevação até o topo (ápice) é 37^\circ.
  • Foi dado que \sin 37^\circ \cong \dfrac{3}{5}. (Daí \cos 37^\circ = \dfrac{4}{5} e, por complementaridade, \sin 53^\circ = \cos 37^\circ = \dfrac{4}{5}.)
O que precisamos encontrar: o comprimento da aresta lateral (do vértice da base até o ápice).
Agora vamos começar a montar a resolução passo a passo, explicando toda a trigonometria e a geometria envolvida.

Passo 2

Vamos achar a altura h da pirâmide a partir do ponto em que o grupo está.
Explicação do método (fórmula que vou usar): quando temos um ponto no chão a uma distância horizontal d do pé vertical do ápice, e o ângulo de elevação até o ápice é \theta, a relação trigonométrica no triângulo retângulo vertical é
\tan\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\frac{h}{d},
onde h é a altura da pirâmide e d é a distância horizontal do observador até o pé da pirâmide. Aqui \theta=37^\circ e, segundo o enunciado, d=84 m.
Cálculo:
h=d\cdot\tan 37^\circ.
Sabendo \sin 37^\circ=\dfrac{3}{5} e \cos 37^\circ=\dfrac{4}{5}, temos
\tan 37^\circ=\frac{\sin 37^\circ}{\cos 37^\circ}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.
Logo
h=84\cdot\frac{3}{4}=84\cdot 0{,}75=63.
Portanto a altura da pirâmide é \;h=63 metros.

Passo 3

Agora vamos relacionar a inclinação das faces com as dimensões da base e a aresta lateral.
Explicação geométrica: a pirâmide de Quéfren é (assumimos) uma pirâmide de base quadrada e o ápice está sobre o centro da base. Considere uma face triangular (uma face lateral). Nessa face, a linha que vai do ápice até o ponto médio do lado da base é chamada de apótema (ou altura da face) — vou chamar de s. Essa linha s está contida na face e, conforme enunciado, forma com a horizontal o ângulo igual à inclinação da face: 53^\circ. Na projeção horizontal, o apótema s tem projeção igual a metade do lado da base, isto é, a/2, onde a é o comprimento do lado da base. Na vertical, a projeção é a altura h. Assim, no triângulo retângulo formado por h (vertical), a/2 (horizontal) e s (hipotenusa oblíqua na face) vale
\sin 53^\circ=\frac{h}{s} \quad\text{e}\quad \tan 53^\circ=\frac{h}{a/2}=\frac{2h}{a}.
Usarei a relação com o seno para achar s primeiro, pois já temos h e \sin 53^\circ é conhecido via complementaridade:
\sin 53^\circ=\cos 37^\circ=\frac{4}{5}.

Passo 4

Calcular o apótema s (distância do ápice até o ponto médio de um lado da base), usando
\sin 53^\circ=\frac{h}{s}.
Então
s=\frac{h}{\sin 53^\circ}=\frac{63}{4/5}=63\cdot\frac{5}{4}=\frac{315}{4}=78{,}75\\ \text{m}.
Interpretação: s é a aresta inclinada da face do ápice até o meio do lado da base.

Passo 5

Agora vamos calcular a aresta lateral L que vai de um vértice da base até o ápice (o que o enunciado pediu).
Geometria envolvida: na face triangular, com vértices (ápice — midpoint do lado — vértice do lado), temos um triângulo retângulo em que os catetos são s (ápice ao midpoint) e a/2 (midpoint ao vértice), e a hipotenusa é L (ápice ao vértice). Assim
L^{2}=s^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}.
Mas também sabemos que, do triângulo vertical que define s,
s^{2}=h^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}.
Se isolarmos \left(\dfrac{a}{2}\right)^{2} da segunda relação e substituirmos na expressão de L^{2} obtemos uma expressão só em s e h. Fazendo isso:
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=s^{2}-h^{2},
então
L^{2}=s^{2}+\left(s^{2}-h^{2}\right)=2s^{2}-h^{2}.
Esta fórmula é conveniente porque já conhecemos s e h.

Passo 6

Substituir os valores numéricos encontrados:
s=\frac{315}{4},\qquad h=63.
Calcular 2s^{2}-h^{2}. Primeiro
s^{2}=\left(\frac{315}{4}\right)^{2}=\frac{99225}{16}.
Então
2s^{2}=2\cdot\frac{99225}{16}=\frac{198450}{16}.
E
h^{2}=63^{2}=3969=\frac{63504}{16}.
Subtraindo:
2s^{2}-h^{2}=\frac{198450}{16}-\frac{63504}{16}=\frac{134946}{16}=\frac{67473}{8}.
Portanto
L=\sqrt{2s^{2}-h^{2}}=\sqrt{\frac{67473}{8}}.

Passo 7

Calcular a aproximação numérica para L:
\frac{67473}{8}=8434{,}125,
L=\sqrt{8434{,}125}\approx 91{,}86\\ \text{m}.
Arredondando razoavelmente, a aresta lateral (do vértice da base ao ápice) vale aproximadamente 91{,}9 metros.

Passo 8

Comentário final e encorajamento: resolvemos usando trigonometria elementar (definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos) e a relação geométrica entre altura, apótema da face e a aresta lateral. Fiz passo a passo para que na prova você possa reproduzir: primeiro obter a altura pela tangente do ângulo de elevação, depois usar o seno da inclinação da face para achar o apótema e, por fim, relacionar apótema e aresta lateral por pitágoras no triângulo da face.

Resposta

\approx 91{,}9\\ \text{metros}

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