1. Um professor de Estatística aplicou uma prova para seus 40 alunos. A prova era objetiva e tinha valor de zero a dez pontos. O quadro abaixo mostra a pontuação obtida por cada aluno após a correção do professor. a) Construa uma tabela de distribuição de frequências com a frequência absoluta, relativa, acumulada e acumulada relativa. b) Faça um gráfico adequado para representar os dados. Comente sobre o comportamento das notas dos alunos.
4 5 1 3 3 1 10 1
4 4 2 10 1 4 2 6
1 8 6 9 4 8 1 5
7 6 5 2 7 2 8 8
8 3 1 4 7 1 3 3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Construir uma tabela de distribuição de frequências contendo: frequência absoluta, frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada para as notas obtidas pelos 40 alunos.
  2. (b) Fazer um gráfico adequado para representar os dados e comentar o comportamento das notas.
Informações dadas (pontuações dos 40 alunos) — peguei os dados da tabela do enunciado:

Primeira linha: 4,\;5,\;1,\;3,\;3,\;1,\;10,\;1 \n
Segunda linha: 4,\;4,\;2,\;10,\;1,\;4,\;2,\;6 \n
Terceira linha: 1,\;8,\;6,\;9,\;4,\;8,\;1,\;5 \n
Quarta linha: 7,\;6,\;5,\;2,\;7,\;2,\;8,\;8 \n
Quinta linha: 8,\;3,\;1,\;4,\;7,\;1,\;3,\;3
Total de observações: N=40.

Passo 2

Vou contar quantas vezes cada nota inteira de 0 a 10 apareceu (frequência absoluta). A contagem feita diretamente a partir das linhas acima dá:

Nota 0: frequência absoluta =0 \n
Nota 1: frequência absoluta =8 \n
Nota 2: frequência absoluta =4 \n
Nota 3: frequência absoluta =5 \n
Nota 4: frequência absoluta =6 \n
Nota 5: frequência absoluta =3 \n
Nota 6: frequência absoluta =3 \n
Nota 7: frequência absoluta =3 \n
Nota 8: frequência absoluta =5 \n
Nota 9: frequência absoluta =1 \n
Nota 10: frequência absoluta =2
Verificação: somando as frequências absolutas obtemos 0+8+4+5+6+3+3+3+5+1+2=40, que confere com N=40.

Passo 3

Agora defino e calculo as frequências relativas e acumuladas. Primeiro explico o que são e como calcular — rapidinha didática:
  • Frequência absoluta f_i: número de observações que assumem o valor x_i.
  • Frequência relativa p_i: proporção de observações com valor x_i. Fórmula: \displaystyle p_i=\frac{f_i}{N}, onde N é o total de observações.
  • Frequência acumulada F_i: soma das frequências absolutas de todos os valores menores ou iguais a x_i. Ou seja, vai acumulando conforme aumentamos as notas.
  • Frequência relativa acumulada P_i: soma das frequências relativas até x_i; também é \displaystyle P_i=\frac{F_i}{N}.
Com N=40 aplico as fórmulas:
Cálculos (mostro passo a passo para cada nota):
  • Para x=0: f_0=0 \Rightarrow p_0=\dfrac{0}{40}=0{,}00. F_0=0. P_0=0{,}00.
  • Para x=1: f_1=8 \Rightarrow p_1=\dfrac{8}{40}=0{,}20. F_1=0+8=8. P_1=\dfrac{8}{40}=0{,}20.
  • Para x=2: f_2=4 \Rightarrow p_2=\dfrac{4}{40}=0{,}10. F_2=8+4=12. P_2=\dfrac{12}{40}=0{,}30.
  • Para x=3: f_3=5 \Rightarrow p_3=\dfrac{5}{40}=0{,}125. F_3=12+5=17. P_3=\dfrac{17}{40}=0{,}425.
  • Para x=4: f_4=6 \Rightarrow p_4=\dfrac{6}{40}=0{,}15. F_4=17+6=23. P_4=\dfrac{23}{40}=0{,}575.
  • Para x=5: f_5=3 \Rightarrow p_5=\dfrac{3}{40}=0{,}075. F_5=23+3=26. P_5=\dfrac{26}{40}=0{,}65.
  • Para x=6: f_6=3 \Rightarrow p_6=\dfrac{3}{40}=0{,}075. F_6=26+3=29. P_6=\dfrac{29}{40}=0{,}725.
  • Para x=7: f_7=3 \Rightarrow p_7=\dfrac{3}{40}=0{,}075. F_7=29+3=32. P_7=\dfrac{32}{40}=0{,}80.
  • Para x=8: f_8=5 \Rightarrow p_8=\dfrac{5}{40}=0{,}125. F_8=32+5=37. P_8=\dfrac{37}{40}=0{,}925.
  • Para x=9: f_9=1 \Rightarrow p_9=\dfrac{1}{40}=0{,}025. F_9=37+1=38. P_9=\dfrac{38}{40}=0{,}95.
  • Para x=10: f_{10}=2 \Rightarrow p_{10}=\dfrac{2}{40}=0{,}05. F_{10}=38+2=40. P_{10}=\dfrac{40}{40}=1{,}00.
Observação: eu mantive algumas frações decimais com três casas quando necessário (por exemplo 0{,}125 e 0{,}425), para precisão.

Passo 4

Apresento a tabela de distribuição de frequências pedida (cada número matemático está entre ... conforme pedido):

Nota \; x_i \quad | \quad Frequência absoluta f_i \quad | \quad Frequência relativa p_i \quad | \quad Frequência acumulada F_i \quad | \quad Frequência relativa acumulada P_i \n
0 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0{,}00 \quad | \quad 0 \quad | \quad 0{,}00 \n
1 \quad | \quad 8 \quad | \quad 0{,}20 \quad | \quad 8 \quad | \quad 0{,}20 \n
2 \quad | \quad 4 \quad | \quad 0{,}10 \quad | \quad 12 \quad | \quad 0{,}30 \n
3 \quad | \quad 5 \quad | \quad 0{,}125 \quad | \quad 17 \quad | \quad 0{,}425 \n
4 \quad | \quad 6 \quad | \quad 0{,}15 \quad | \quad 23 \quad | \quad 0{,}575 \n
5 \quad | \quad 3 \quad | \quad 0{,}075 \quad | \quad 26 \quad | \quad 0{,}65 \n
6 \quad | \quad 3 \quad | \quad 0{,}075 \quad | \quad 29 \quad | \quad 0{,}725 \n
7 \quad | \quad 3 \quad | \quad 0{,}075 \quad | \quad 32 \quad | \quad 0{,}80 \n
8 \quad | \quad 5 \quad | \quad 0{,}125 \quad | \quad 37 \quad | \quad 0{,}925 \n
9 \quad | \quad 1 \quad | \quad 0{,}025 \quad | \quad 38 \quad | \quad 0{,}95 \n
10 \quad | \quad 2 \quad | \quad 0{,}05 \quad | \quad 40 \quad | \quad 1{,}00

Passo 5

Sugestão de gráfico adequado e instruções práticas para montar (isso é importante: em prova você pode desenhar rápido):
  • Tipo de gráfico recomendado: gráfico de barras (bar chart) para dados discretos como notas inteiras. Cada barra representa uma nota x_i (no eixo x) e a altura é a frequência absoluta f_i (no eixo y). As barras devem ficar separadas (não encostadas), porque as notas são categorias discretas.
  • Alternativa: histograma também é usado, mas para notas inteiras o gráfico de barras é mais direto. Um boxplot pode complementar para mostrar mediana e dispersão.
  • Como desenhar rápido: marque no eixo horizontal as notas 0,1,2,\dots,10. No vertical coloque números de 0 a 8 (já que a maior frequência é 8). Desenhe barras com alturas: 0,8,4,5,6,3,3,3,5,1,2 respectivamente.

Passo 6

Cálculos sumarizados para descrever o comportamento das notas (ajuda a comentar o gráfico):
  • Média (explicação curta: média aritmética é soma das notas dividida pelo número de alunos): calculei \displaystyle \bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{N}.
    Soma das notas ponderada pelas frequências: 1\cdot8+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot3+6\cdot3+7\cdot3+8\cdot5+9\cdot1+10\cdot2 =178.
    Logo \displaystyle \bar{x}=\frac{178}{40}=4{,}45.
  • Mediana (explicação: mediana é o valor central; como N é par pega-se a média entre a 20-ésima e 21-ésima observações ordenadas): pelas frequências acumuladas vemos que a 20-ésima e 21-ésima observações estão na categoria nota 4 (porque F_3=17 e F_4=23). Assim mediana =4.
  • Moda (explicação: valor com maior frequência absoluta): a nota com maior f_i é 1 com f_1=8. Moda =1.
Interpretação/comentário sobre o comportamento das notas:
  • A média é \bar{x}=4{,}45 e a mediana é 4. A moda é 1, que é muito menor que a média e a mediana. Esse padrão (moda < mediana < média) sugere uma leve assimetria positiva (distribuição com cauda à direita): há muitas notas baixas (muitos alunos tiraram 1) e alguns alunos com notas altas (como 9 e 10) puxam a média para cima.
  • Observando a tabela: 20 alunos (chegando em F_4=23, ou seja até x=4) tiraram nota até 4 — ou seja, mais da metade da turma está na faixa baixa/baixa-média. Apenas 3 alunos tiraram nota 10 ou 9 juntos (na verdade 3 alunos com 9 e 10 somam 3; aqui é 1 com 9 e 2 com 10), então há poucos desempenhos muito altos.
  • Conclusão prática (e encorajamento): a turma concentrou-se nas notas baixas a médias; o professor pode interpretar que muitos alunos tiveram muita dificuldade (muitos 1) e só alguns foram muito bem. Seria interessante fazer revisão dos tópicos que caíram na prova.

Resposta

Tabela de frequências (Nota | f_i | p_i | F_i | P_i):
0\;|\;0\;|\;0{,}00\;|\;0\;|\;0{,}00
1\;|\;8\;|\;0{,}20\;|\;8\;|\;0{,}20
2\;|\;4\;|\;0{,}10\;|\;12\;|\;0{,}30
3\;|\;5\;|\;0{,}125\;|\;17\;|\;0{,}425
4\;|\;6\;|\;0{,}15\;|\;23\;|\;0{,}575
5\;|\;3\;|\;0{,}075\;|\;26\;|\;0{,}65
6\;|\;3\;|\;0{,}075\;|\;29\;|\;0{,}725
7\;|\;3\;|\;0{,}075\;|\;32\;|\;0{,}80
8\;|\;5\;|\;0{,}125\;|\;37\;|\;0{,}925
9\;|\;1\;|\;0{,}025\;|\;38\;|\;0{,}95
10\;|\;2\;|\;0{,}05\;|\;40\;|\;1{,}00
Gráfico e comentário: usar gráfico de barras com notas 0 a 10 no eixo x e alturas f_i=\{0,8,4,5,6,3,3,3,5,1,2\}. Comportamento: média \bar{x}=4{,}45, mediana =4, moda =1; distribuição concentrada em notas baixas a médias com assimetria positiva (cauda à direita) — muitos alunos com notas baixas e poucos com notas muito altas.

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