- Um professor de Estatística aplicou uma prova para seus 40 alunos. A prova era objetiva e tinha valor de zero a dez pontos. O quadro abaixo mostra a pontuação obtida por cada aluno após a correção do professor. a) Construa uma tabela de distribuição de frequências com a frequência absoluta, relativa, acumulada e acumulada relativa. b) Faça um gráfico adequado para representar os dados. Comente sobre o comportamento das notas dos alunos.
4
5
1
3
3
1
10
1
4
4
2
10
1
4
2
6
1
8
6
9
4
8
1
5
7
6
5
2
7
2
8
8
8
3
1
4
7
1
3
3
| 4 | 5 | 1 | 3 | 3 | 1 | 10 | 1 |
| 4 | 4 | 2 | 10 | 1 | 4 | 2 | 6 |
| 1 | 8 | 6 | 9 | 4 | 8 | 1 | 5 |
| 7 | 6 | 5 | 2 | 7 | 2 | 8 | 8 |
| 8 | 3 | 1 | 4 | 7 | 1 | 3 | 3 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Construir uma tabela de distribuição de frequências contendo: frequência absoluta, frequência relativa, frequência acumulada e frequência relativa acumulada para as notas obtidas pelos
alunos. - (b) Fazer um gráfico adequado para representar os dados e comentar o comportamento das notas.
Informações dadas (pontuações dos
alunos) — peguei os dados da tabela do enunciado:
Primeira linha: \n
Segunda linha: \n
Terceira linha: \n
Quarta linha: \n
Quinta linha:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Quarta linha:
Quinta linha:
Total de observações:
.
Passo 2
Vou contar quantas vezes cada nota inteira de
a
apareceu (frequência absoluta). A contagem feita diretamente a partir das linhas acima dá:
Verificação: somando as frequências absolutas obtemos
, que confere com
.
Passo 3
Agora defino e calculo as frequências relativas e acumuladas. Primeiro explico o que são e como calcular — rapidinha didática:
- Frequência absoluta
: número de observações que assumem o valor . - Frequência relativa
: proporção de observações com valor . Fórmula: , onde é o total de observações. - Frequência acumulada
: soma das frequências absolutas de todos os valores menores ou iguais a . Ou seja, vai acumulando conforme aumentamos as notas. - Frequência relativa acumulada
: soma das frequências relativas até ; também é .
Com
aplico as fórmulas:
Cálculos (mostro passo a passo para cada nota):
- Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . . - Para
: . . .
Observação: eu mantive algumas frações decimais com três casas quando necessário (por exemplo
e
), para precisão.
Passo 4
Apresento a tabela de distribuição de frequências pedida (cada número matemático está entre
conforme pedido):
Nota
Passo 5
Sugestão de gráfico adequado e instruções práticas para montar (isso é importante: em prova você pode desenhar rápido):
- Tipo de gráfico recomendado: gráfico de barras (bar chart) para dados discretos como notas inteiras. Cada barra representa uma nota
(no eixo ) e a altura é a frequência absoluta (no eixo ). As barras devem ficar separadas (não encostadas), porque as notas são categorias discretas. - Alternativa: histograma também é usado, mas para notas inteiras o gráfico de barras é mais direto. Um boxplot pode complementar para mostrar mediana e dispersão.
- Como desenhar rápido: marque no eixo horizontal as notas
. No vertical coloque números de a (já que a maior frequência é ). Desenhe barras com alturas: respectivamente.
Passo 6
Cálculos sumarizados para descrever o comportamento das notas (ajuda a comentar o gráfico):
- Média (explicação curta: média aritmética é soma das notas dividida pelo número de alunos): calculei
.
Soma das notas ponderada pelas frequências:.
Logo. - Mediana (explicação: mediana é o valor central; como
é par pega-se a média entre a -ésima e -ésima observações ordenadas): pelas frequências acumuladas vemos que a -ésima e -ésima observações estão na categoria nota (porque e ). Assim mediana . - Moda (explicação: valor com maior frequência absoluta): a nota com maior
é com . Moda .
Interpretação/comentário sobre o comportamento das notas:
- A média é
e a mediana é . A moda é , que é muito menor que a média e a mediana. Esse padrão (moda < mediana < média) sugere uma leve assimetria positiva (distribuição com cauda à direita): há muitas notas baixas (muitos alunos tiraram ) e alguns alunos com notas altas (como e ) puxam a média para cima. - Observando a tabela:
alunos (chegando em , ou seja até ) tiraram nota até — ou seja, mais da metade da turma está na faixa baixa/baixa-média. Apenas alunos tiraram nota ou juntos (na verdade alunos com e somam ; aqui é com e com ), então há poucos desempenhos muito altos. - Conclusão prática (e encorajamento): a turma concentrou-se nas notas baixas a médias; o professor pode interpretar que muitos alunos tiveram muita dificuldade (muitos
) e só alguns foram muito bem. Seria interessante fazer revisão dos tópicos que caíram na prova.
Resposta
Tabela de frequências (Nota
):
Gráfico e comentário: usar gráfico de barras com notas
a
no eixo
e alturas
. Comportamento: média
, mediana
, moda
; distribuição concentrada em notas baixas a médias com assimetria positiva (cauda à direita) — muitos alunos com notas baixas e poucos com notas muito altas.