Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
.
Passo 1
A questão considera duas variáveis aleatórias X e Y com momentos de segunda ordem finitos e pede para mostrar a relação entre variância e covariância em soma de variáveis. Vamos usar as definições de variância
e de covariância
, bem como propriedades de linearidade da expectativa.
Passo 2
Começamos expressando a variância de
pela definição:
Passo 3
Sabendo que
, reescrevemos o termo dentro do quadrado:
Passo 4
Usando a identidade
, expandimos dentro da expectativa:
Passo 5
Agora basta reconhecer que
,
e
.