Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com X. Definimos a covariância entre Y e Cov(X, Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] por Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2 Cov(X, Y). Mostre que
.

Passo 1

A questão considera duas variáveis aleatórias X e Y com momentos de segunda ordem finitos e pede para mostrar a relação entre variância e covariância em soma de variáveis. Vamos usar as definições de variância Var(Z)=E[(Z-E[Z])^2] e de covariância Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])], bem como propriedades de linearidade da expectativa.

Passo 2

Começamos expressando a variância de X+Y pela definição:
Var(X+Y)=El[l((X+Y)-E[X+Y]r)^2r]

Passo 3

Sabendo que E[X+Y]=E[X]+E[Y], reescrevemos o termo dentro do quadrado:
(X+Y)-l(E[X]+E[Y]r)=(X-E[X])+(Y-E[Y])

Passo 4

Usando a identidade (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, expandimos dentro da expectativa:
Var(X+Y)=El[(X-E[X])^2r]+2,El[(X-E[X])(Y-E[Y])r]+El[(Y-E[Y])^2r]

Passo 5

Agora basta reconhecer que E[(X-E[X])^2]=Var(X), E[(Y-E[Y])^2]=Var(Y) e E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=Cov(X,Y).

Resposta

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2,Cov(X,Y).

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