Um(a) profissional foi convocado(a) para projetar um reator do tipo leito fluidizado, destinado ao craqueamento catalítico de petróleo. Para tanto, a primeira informação a ser obtida sobre o projeto refere-se à caracterização do particulado. A classificação do particulado de FCC foi conduzida por meio de peneiramento de uma amostra de 100 g de partículas, cujos resultado está apresentado na Tabela 1. Pede-se: obtenha:
c) o valor do diâmetro médio de partícula em que a área superficial é igual à média das partículas presentes na amostra.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é achar o diâmetro médio de partícula tal que a área superficial de uma partícula com esse diâmetro seja igual à área superficial média de todas as partículas da amostra. Isso é exatamente o que chamamos de diâmetro médio de Sauter, ou d₃₂.
Matéria envolvida: granulometria e médias de momentos de distribuição de tamanhos.
O que vamos precisar:
  1. As massas (ou frações de massa) retidas em cada peneira;
  2. O diâmetro médio de cada fração de peneira (normalmente o ponto médio do intervalo);
  3. A fórmula de d₃₂, que mistura momentos de ordem 3 e 2 da distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a teoria por trás do d₃₂.
  • Se você tiver uma fração i com massa mᵢ e diâmetro médio dᵢ, a sua contribuição para o “momento de ordem n” é mᵢ·dᵢⁿ.
  • O d₃₂ (Sauter) é justamente a razão entre o momento de ordem 3 e o de ordem 2:
d32 ;=; sumi mi , di^3sumi mi , di^2
Por que 3 e 2? Porque queremos uma média que faça a área superficial (que escala com d²) se igualar ao volume (que escala com d³) devidamente ponderado pelas massas.

Passo 3

Agora, o passo a passo prático:
  1. Para cada fração de peneira i, determine o diâmetro médio dᵢ (por exemplo, se a faixa é 100–150 µm, use 125 µm).
  2. Pegue a massa mᵢ retida nessa fração (ou a porcentagem vezes a massa total).
  3. Calcule mᵢ·dᵢ³ e mᵢ·dᵢ².
  4. Some todos os mᵢ·dᵢ³ para obter o numerador.
  5. Some todos os mᵢ·dᵢ² para obter o denominador.
  6. Divida numerador por denominador.

Passo 4

Vamos ilustrar com símbolos (se você já tiver os valores numéricos, basta substituir):
Numerador = sumi mi,di^3 ; Denominador = sumi mi,di^2
boxedd32 = sumi mi,di^3sumi mi,di^2

Resposta

d_{32} = \displaystyle \frac{\sum_i m_i,d_i^3}{\sum_i m_i,d_i^2}

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