Ex. 6 Suponha que, quando uma máquina está ajustada corretamente,
dos itens por ela produzidos sejam de alta qualidade e os outros
sejam de qualidade média. Suponha, porém, que a máquina esteja desajustada durante
do tempo e que, nessas condições,
dos itens produzidos sejam de alta qualidade e
sejam de qualidade média.
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em que uma máquina, quando ajustada corretamente (evento
), produz itens de alta qualidade com probabilidade
e itens de qualidade média também com probabilidade
. Sabemos ainda que
e que, quando a máquina está desajustada (evento
), ocorre com probabilidade
e, nessas condições, produz itens de alta qualidade com probabilidade
e de qualidade média com probabilidade
.
Queremos calcular
Queremos calcular
onde
é o evento “de cinco itens inspecionados, quatro são de alta qualidade e um é de qualidade média”. O conteúdo é o Teorema de Bayes.
Passo 2
Definimos:
,
.
O evento é uma sequência de 5 itens com exatamente 4 de alta e 1 de média.
O evento
Passo 3
Calculamos a verossimilhança em
, ou seja
Passo 4
Calculamos a verossimilhança em
:
Passo 5
Aplicamos o Teorema de Bayes:
Passo 6
Substituindo os valores: