Ex. 6 Suponha que, quando uma máquina está ajustada corretamente, 50 \% dos itens por ela produzidos sejam de alta qualidade e os outros 50 \% sejam de qualidade média. Suponha, porém, que a máquina esteja desajustada durante 10 \% do tempo e que, nessas condições, 25 \% dos itens produzidos sejam de alta qualidade e 75 \% sejam de qualidade média.
(a) Suponha que cinco itens produzidos pela máquina em um certo momento sejam selecionados ao acaso e inspecionados. Se quatro desses itens são de alta qualidade e um item é de qualidade média, qual é a probabilidade de que a máquina estivesse ajustada corretamente naquele momento?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em que uma máquina, quando ajustada corretamente (evento A), produz itens de alta qualidade com probabilidade 0,5 e itens de qualidade média também com probabilidade 0,5. Sabemos ainda que \Pr(A)=0,9 e que, quando a máquina está desajustada (evento A^c), ocorre com probabilidade 0,1 e, nessas condições, produz itens de alta qualidade com probabilidade 0,25 e de qualidade média com probabilidade 0,75.
Queremos calcular
\Pr\bigl(A \mid B\bigr),
onde B é o evento “de cinco itens inspecionados, quatro são de alta qualidade e um é de qualidade média”. O conteúdo é o Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos:
\Pr(A)=0,9, \Pr(A^c)=0,1.
O evento B é uma sequência de 5 itens com exatamente 4 de alta e 1 de média.

Passo 3

Calculamos a verossimilhança em A, ou seja
\Pr(B\mid A) =\binom{5}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^1 =5\cdot(0{,}5)^5 =\frac{5}{32}\approx0{,}15625.

Passo 4

Calculamos a verossimilhança em A^c:
\Pr(B\mid A^c) =\binom{5}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)^1 =5\cdot\frac{1}{256}\cdot\frac{3}{4} =\frac{15}{1024}\approx0{,}014648.

Passo 5

Aplicamos o Teorema de Bayes:
\Pr(A\mid B) =\frac{\Pr(B\mid A)\,\Pr(A)}{\Pr(B\mid A)\,\Pr(A)+\Pr(B\mid A^c)\,\Pr(A^c)}.

Passo 6

Substituindo os valores:
\Pr(A\mid B) =\frac{\frac{5}{32}\cdot0{,}9} {\frac{5}{32}\cdot0{,}9+\frac{15}{1024}\cdot0{,}1} =\frac{\frac{9}{64}}{\frac{9}{64}+\frac{15}{10240}} =\frac{1440}{1455} =\frac{96}{97}\approx0{,}9897.

Resposta

\displaystyle \Pr(\text{máquina ajustada corretamente}\mid B)=\frac{96}{97}\approx0,9897á.

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