5- Quantas iterações serão necessárias para obter com uma precisão de
o zero da função
, considerando o intervalo inicial
? E a outra raiz no intervalo
?
Passo 1
O enunciado pede: "Quantas iterações serão necessárias para obter com uma precisão de
o zero da função
" em dois intervalos iniciais dados. Informações fornecidas:
- A função é
. - Precisão desejada (erro máximo permitido) é
. - Primeiro intervalo inicial:
. - Segundo intervalo inicial:
.
Perguntas claras: - Quantas iterações são necessárias no intervalo
? - Quantas iterações são necessárias no intervalo
?
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem pular etapas): vou usar o método da bisseção. Motivos simples e práticos:
- O enunciado não exige método específico.
- A bisseção é o procedimento mais básico e confiável para achar zeros em um intervalo onde a função muda de sinal (supõe-se que os intervalos dados contêm uma raiz).
- A bisseção tem uma fórmula direta e simples para controlar a precisão em função do número de iterações, o que responde precisamente à pergunta “quantas iterações são necessárias”.
Passo 3
Breve explicação do método da bisseção (intuitiva e passo a passo):
- Começamos com um intervalo
tal que e têm sinais opostos (então existe ao menos uma raiz por Bolzano). - A cada iteração calculamos o ponto médio
. - Avaliamos
. Se paramos; caso contrário, substituímos o intervalo por ou dependendo do sinal, mantendo sempre um intervalo que contém a raiz. - A cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é cortado pela metade.
Passo 4
Fórmula de erro da bisseção (e por que vale): após
iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a máxima distância (erro) entre essa aproximação e a raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, logo
Explicando as variáveis:
-
são os extremos do intervalo inicial. -
é o número de iterações de bisseção realizadas. -
é a precisão desejada (erro máximo permitido).
Passo 5
Condição para garantir a precisão pedida: queremos que o erro máximo seja menor ou igual a
. Portanto exigimos
Isolando
:
Para obter um número inteiro de iterações que garanta a precisão, tomamos o teto (função ceil) do lado direito.
Passo 6
Aplicação ao intervalo
:
- Aqui
, , então . -
.
Calculamos
Usando a forma equivalente para
,
Logo
Convertendo para log natural para calcular:
Tomando o teto (número inteiro de iterações necessário):
Portanto são necessárias
iterações para garantir erro
no intervalo
usando a aproximação pelo ponto médio.
Passo 7
Aplicação ao intervalo
:
- Aqui
, , então . -
.
Calculamos
Então
Calculemos:
Tomando o teto:
Portanto são necessárias
iterações para garantir erro
no intervalo
.
Resposta
Para o intervalo
:
iterações
Para o intervalo
:
iterações