5- Quantas iterações serão necessárias para obter com uma precisão de 10^{-5} o zero da função \operatorname{sen} x-e^{x}=0, considerando o intervalo inicial [-4,-2] ? E a outra raiz no intervalo [-7,-6] ?

Passo 1

O enunciado pede: "Quantas iterações serão necessárias para obter com uma precisão de 10^{-5} o zero da função \operatorname{sen} x - e^{x} = 0" em dois intervalos iniciais dados. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sin x - e^{x}.
  • Precisão desejada (erro máximo permitido) é \varepsilon = 10^{-5}.
  • Primeiro intervalo inicial: [-4,-2].
  • Segundo intervalo inicial: [-7,-6].
    Perguntas claras:
  • Quantas iterações são necessárias no intervalo [-4,-2]?
  • Quantas iterações são necessárias no intervalo [-7,-6]?

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem pular etapas): vou usar o método da bisseção. Motivos simples e práticos:
  • O enunciado não exige método específico.
  • A bisseção é o procedimento mais básico e confiável para achar zeros em um intervalo onde a função muda de sinal (supõe-se que os intervalos dados contêm uma raiz).
  • A bisseção tem uma fórmula direta e simples para controlar a precisão em função do número de iterações, o que responde precisamente à pergunta “quantas iterações são necessárias”.

Passo 3

Breve explicação do método da bisseção (intuitiva e passo a passo):
  • Começamos com um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (então existe ao menos uma raiz por Bolzano).
  • A cada iteração calculamos o ponto médio m = \dfrac{a+b}{2}.
  • Avaliamos f(m). Se f(m)=0 paramos; caso contrário, substituímos o intervalo por [a,m] ou [m,b] dependendo do sinal, mantendo sempre um intervalo que contém a raiz.
  • A cada iteração o comprimento do intervalo que contém a raiz é cortado pela metade.

Passo 4

Fórmula de erro da bisseção (e por que vale): após n iterações o comprimento do intervalo que contém a raiz é
L_n = \frac{b-a}{2^{\,n}}.
Se tomamos como aproximação o ponto médio do intervalo atual, a máxima distância (erro) entre essa aproximação e a raiz é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, logo
\text{erro máximo} \le \frac{L_n}{2} = \frac{b-a}{2^{\,n+1}}.á
Explicando as variáveis:
  • a,b são os extremos do intervalo inicial.
  • n é o número de iterações de bisseção realizadas.
  • \varepsilon é a precisão desejada (erro máximo permitido).

Passo 5

Condição para garantir a precisão pedida: queremos que o erro máximo seja menor ou igual a \varepsilon. Portanto exigimos
\frac{b-a}{2^{\,n+1}} \le \varepsilon.
Isolando n:
2^{\,n+1} \ge \frac{b-a}{\varepsilon}
n+1 \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)
n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right) - 1.
Para obter um número inteiro de iterações que garanta a precisão, tomamos o teto (função ceil) do lado direito.

Passo 6

Aplicação ao intervalo [-4,-2]:
  • Aqui a=-4, b=-2, então b-a = 2.
  • \varepsilon = 10^{-5}.
    Calculamos
\frac{b-a}{2\varepsilon}=\frac{2}{2\cdot 10^{-5}}=\frac{2}{2\times 10^{-5}}=10^{5}.
Usando a forma equivalente para n,
n \ge \log_{2}\!\left(\frac{b-a}{2\varepsilon}\right).
Logo
n \ge \log_{2}\!(10^{5}).
Convertendo para log natural para calcular:
\log_{2}\!(10^{5})=\frac{\ln(10^{5})}{\ln 2}=\frac{5\ln 10}{\ln 2}\approx\frac{5\cdot 2{,}302585093}{0{,}693147181}\approx 16{,}60964047.
Tomando o teto (número inteiro de iterações necessário):
n=\lceil 16{,}60964047\rceil = 17.
Portanto são necessárias 17 iterações para garantir erro \le 10^{-5} no intervalo [-4,-2] usando a aproximação pelo ponto médio.

Passo 7

Aplicação ao intervalo [-7,-6]:
  • Aqui a=-7, b=-6, então b-a = 1.
  • \varepsilon = 10^{-5}.
    Calculamos
\frac{b-a}{2\varepsilon}=\frac{1}{2\cdot 10^{-5}}=\frac{1}{2\times 10^{-5}}=5\times 10^{4}.
Então
n \ge \log_{2}\!\left(5\times 10^{4}\right).
Calculemos:
\log_{2}\!(5\times 10^{4})=\frac{\ln(5\times 10^{4})}{\ln 2}=\frac{\ln 5 + 4\ln 10}{\ln 2}\approx\frac{1{,}609437912+4\cdot 2{,}302585093}{0{,}693147181}\approx 15{,}60964047.
Tomando o teto:
n=\lceil 15{,}60964047\rceil = 16.
Portanto são necessárias 16 iterações para garantir erro \le 10^{-5} no intervalo [-7,-6].

Resposta

Para o intervalo [-4,-2]: 17 iterações
Para o intervalo [-7,-6]: 16 iterações

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