Vetores ortonormais são automaticamente linearmente independentes.
Prova vetorial: Quando c1 q1+c2 q2+c3 q3=0, qual produto escalar leva a c1=0 ? Similarmente c2=0 e c3=0. Assim os qs são independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
então . Vamos usar a propriedade fundamental de conjuntos ortonormais:
Com isso, tomando produtos escalares apropriados isolamos cada coeficiente (c_i].

Passo 2

Para obter c1=0, fazemos o produto escalar da combinação com q1:
q1cdotl(c1q1+c2q2+c3q3r) = c1(q1cdotq1) + c2(q1cdotq2) + c3(q1cdotq3) = c1cdot1 + c2cdot0 + c3cdot0 = c1
Como o lado direito é q1cdot0=0, segue c1=0.

Passo 3

De forma análoga, para c2 tomamos o produto escalar com q2:
q2cdotl(c1q1+c2q2+c3q3r) = c1,0 + c2,1 + c3,0 = c2,
logo c2=0.

Passo 4

E, finalmente, para c3 usamos q3:
q3cdotl(c1q1+c2q2+c3q3r) = c1,0 + c2,0 + c3,1 = c3,
portanto c3=0.

Passo 5

Como a única solução para c1,c2,c3 é a trivial, concluímos que q1,q2,q3 é linearmente independente.

Resposta

Tome produto escalar com q1 para obter c1=0;
produto escalar com q2 para obter c2=0;
produto escalar com q3 para obter c3=0.

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