(1.0) Um projétil é atirado verticalmente da superfície da Terra. Desprezando o atrito com o ar, calcule a velocidade mínima necessária na boca do canhão para que o projétil disparado verticalmente atinja uma altura igual ao raio da Terra.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade mínima v_{0} na boca do canhão para que um projétil atinja, sem atrito, altura igual ao raio da Terra R. Vamos usar conservação de energia com potencial gravitacional que varia com a distância ao centro da Terra.

Passo 2

Aplicando conservação de energia entre o ponto de lançamento ( r=R, velocidade v_{0}) e o ponto de altura máxima ( r=R+H, velocidade zero):
\frac12\,m\,v_{0}^{2} + U(R) \;=\; 0 + U(R+H),
onde
U(r) = -\frac{G\,M\,m}{r}
é a energia potencial gravitacional.

Passo 3

A variação de potencial é
\Delta U = U(R+H) - U(R) = -\frac{G\,M\,m}{R+H} + \frac{G\,M\,m}{R} = G\,M\,m\Bigl(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+H}\Bigr).
Para H=R temos
\Delta U = G\,M\,m\Bigl(\frac{1}{R} - \frac{1}{2R}\Bigr) = \frac{G\,M\,m}{2R}.

Passo 4

Igualando a energia cinética inicial à variação de potencial:
\frac12\,m\,v_{0}^{2} = \frac{G\,M\,m}{2R}
Cancela-se m/2 e obtém-se
v_{0}^{2} = \frac{G\,M}{R}.

Passo 5

Usando g = \frac{G\,M}{R^{2}}, segue G\,M = g\,R^{2} e
v_{0}^{2} = g\,R \quad\Longrightarrow\quad v_{0} = \sqrt{g\,R}.

Passo 6

Numericamente, com g = 9{,}8\,\mathrm{m/s^{2}} e R = 6{,}37\times10^{6}\,\mathrm{m}:
v_{0} = \sqrt{9{,}8 \times 6{,}37\times10^{6}} \approx 7{,}9\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade mínima é
v_{0} = \sqrt{g\,R}\approx 7{,}9\times10^{3}\,\mathrm{m/s}.

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