• Questão 1 Considere a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(t)=2 \cos (2 t) \vec{i}+2 \operatorname{sen}(2 t) \vec{j}+2 t \vec{k}, \quad t \geq 0
1A. (2.0pt) Obtenha expressões em t para os 3 vetores de Frenet \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}.
1B. (2.0pt) Obtenha as acelerações normal e tangencial em t=\pi.
Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a 25 \% do valor de qq ítem.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec r(t)=2\cos(2t)\,\vec i+2\operatorname{sen}(2t)\,\vec j+2t\,\vec k,\quad t\ge0
e pede os vetores de Frenet \vec T,\vec N,\vec B em função de t e, em seguida, as componentes normal e tangencial da aceleração no instante t=\pi. Para isso vamos usar:
  1. \vec v=\dot{\vec r}, \vec a=\dot{\vec v}.
  2. \vec T=\vec v/\|\vec v\|.
  3. \vec T' = \kappa\,\|\vec v\|\,\vec N para achar \kappa e \vec N.
  4. \vec B=\vec T\times\vec N.
  5. a_T=d\|\vec v\|/dt e a_N=\kappa\,\|\vec v\|^2.

Passo 2

Calculemos primeiro a velocidade e seu módulo:
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t) =-4\operatorname{sen}(2t)\,\vec i+4\cos(2t)\,\vec j+2\,\vec k.
\|\vec v(t)\| =\sqrt{(-4\sen2t)^2+(4\cos2t)^2+2^2} =\sqrt{16(\operatorname{sen}^2 2t+\cos^2 2t)+4} =\sqrt{20} =2\sqrt5.
Logo o versor tangente é
\vec T(t) =\frac{\vec v(t)}{\|\vec v(t)\|} =-\frac{4\operatorname{sen}(2t)}{2\sqrt5}\,\vec i +\frac{4\cos(2t)}{2\sqrt5}\,\vec j +\frac{2}{2\sqrt5}\,\vec k =-\frac{2\operatorname{sen}(2t)}{\sqrt5}\,\vec i +\frac{2\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec j +\frac{1}{\sqrt5}\,\vec k.

Passo 3

Derivamos \vec T para encontrar \kappa e \vec N:
\frac{d\vec T}{dt} =-\frac{4\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec i -\frac{4\operatorname{sen}(2t)}{\sqrt5}\,\vec j,
\bigl\|\tfrac{d\vec T}{dt}\bigr\| =\sqrt{\frac{16\cos^2(2t)}{5}+\frac{16\operatorname{sen}^2(2t)}{5}} =\frac{4}{\sqrt5}.
Como \kappa=\|\vec T'\|/\|\vec v\|, temos
\kappa(t) =\frac{\tfrac{4}{\sqrt5}}{2\sqrt5} =\frac{4}{2\cdot5} =\frac{2}{5}.
O versor normal é
\vec N(t) =\frac{\vec T'}{\|\vec T'\|} =-\cos(2t)\,\vec i -\operatorname{sen}(2t)\,\vec j.

Passo 4

O versor binormal é
\vec B(t) =\vec T(t)\times\vec N(t) =\frac{\sin(2t)}{\sqrt5}\,\vec i -\frac{\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec j +\frac{2}{\sqrt5}\,\vec k.

Passo 5

Agora as componentes da aceleração. Primeiro
\vec a(t)=\dot{\vec v}(t) =-8\cos(2t)\,\vec i -8\operatorname{sen}(2t)\,\vec j.
A componente tangencial é
a_T(t)=\frac{d}{dt}\|\vec v(t)\|=0 \quad(\|\vec v\|\text{ é constante}),é
e a normal vale
a_N(t)=\kappa(t)\,\|\vec v(t)\|^2 =\frac{2}{5}\,(2\sqrt5)^2 =\frac{2}{5}\cdot20 =8.
Em t=\pi temos exatamente
a_T(\pi)=0, \quad a_N(\pi)=8.

Resposta

\displaystyle \vec T(t)=-\frac{2\operatorname{sen}(2t)}{\sqrt5}\,\vec i+\frac{2\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec j+\frac{1}{\sqrt5}\,\vec k,
\displaystyle \vec N(t)=-\cos(2t)\,\vec i-\operatorname{sen}(2t)\,\vec j,
\displaystyle \vec B(t)=\frac{\sin(2t)}{\sqrt5}\,\vec i-\frac{\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec j+\frac{2}{\sqrt5}\,\vec k;
a_T(\pi)=0,\quad a_N(\pi)=8.

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