Questão 1 Considere a trajetória parametrizada pela seguinte função vetorial:
\vec{r}(t)=2 \cos (2 t) \vec{i}+2 \operatorname{sen}(2 t) \vec{j}+2 t \vec{k}, \quad t \geq 0
1A. (2.0pt) Obtenha expressões em t para os 3 vetores de Frenet \vec{T}, \vec{N}, \vec{B}.
1B. (2.0pt) Obtenha as acelerações normal e tangencial em t=\pi.
Resposta correta sem desenvolvimento matemático / justificativa limitará o acerto a 25 \% do valor de qq ítem.
e pede os vetores de Frenet \vec T,\vec N,\vec B em função de t e, em seguida, as componentes normal e tangencial da aceleração no instante t=\pi. Para isso vamos usar:
\vec v=\dot{\vec r}, \vec a=\dot{\vec v}.
\vec T=\vec v/\|\vec v\|.
\vec T' = \kappa\,\|\vec v\|\,\vec N para achar \kappa e \vec N.
\vec B=\vec T\times\vec N.
a_T=d\|\vec v\|/dt e a_N=\kappa\,\|\vec v\|^2.
Passo 2
Calculemos primeiro a velocidade e seu módulo:
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t) =-4\operatorname{sen}(2t)\,\vec i+4\cos(2t)\,\vec j+2\,\vec k.
\vec T(t) =\frac{\vec v(t)}{\|\vec v(t)\|} =-\frac{4\operatorname{sen}(2t)}{2\sqrt5}\,\vec i +\frac{4\cos(2t)}{2\sqrt5}\,\vec j +\frac{2}{2\sqrt5}\,\vec k =-\frac{2\operatorname{sen}(2t)}{\sqrt5}\,\vec i +\frac{2\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec j +\frac{1}{\sqrt5}\,\vec k.
Passo 3
Derivamos \vec T para encontrar \kappa e \vec N:
\frac{d\vec T}{dt} =-\frac{4\cos(2t)}{\sqrt5}\,\vec i -\frac{4\operatorname{sen}(2t)}{\sqrt5}\,\vec j,