Um projétil é lançado da origem com velocidade inicial v0=v1 x+v2 y, estando sujeito a uma força de resistência do ar do tipo fr=-m gamma v, onde gamma é a constante de resistência do ar e m é a massa do projétil. A aceleração da gravidade no local vale g=-g y. Calcule o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um projétil que é lançado da origem com uma velocidade inicial que tem componentes nas direções x e y, ou seja, v0 = v1 x + v2 y. Além disso, esse projétil está passando por uma força de resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por fr = -m gamma v. E, claro, também tem a força da gravidade atuando para baixo, g = -g y. A matéria envolvida aqui é a cinemática com resistência do ar, e a gente vai precisar resolver uma equação diferencial para achar o tempo que o projétil leva para alcançar a altura máxima, ou seja, o ponto onde a componente vertical da velocidade vira zero.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as coisas nas direções x e y, porque assim fica mais fácil de resolver. Na direção x, a única força atuando é a resistência do ar, já que não tem gravidade agindo nessa direção. Na direção y, a gente tem tanto a resistência do ar quanto a gravidade.

Passo 3

Vamos focar na direção y para achar quando o projétil atinge a altura máxima. A equação da segunda lei de Newton nessa direção fica assim:
m dvydt = -mg - m gamma vy
Aqui, dvydt é a aceleração na direção y. A gente pode dividir todos os termos por m para simplificar:
dvydt = -g - gamma vy
Essa é uma equação diferencial que a gente precisa resolver para encontrar vy(t), a velocidade na direção y em função do tempo.

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial linear e podemos resolver usando o método do fator integrante. A solução geral dessa equação é:
vy(t) = -ggamma + (v2 + ggamma) e^-gamma t
Aqui, v2 é a componente inicial da velocidade na direção y, ou seja, v0y.

Passo 5

Agora, para encontrar o tempo t quando o projétil atinge a altura máxima, a gente sabe que nesse ponto a velocidade vertical vy(t) é zero. Então, vamos igualar a expressão que encontramos a zero e resolver para t:
0 = -ggamma + (v2 + ggamma) e^-gamma t
Isolando e^-gamma t:
e^-gamma t = ggamma v2 + g
Agora, tirando o logaritmo natural dos dois lados:
-gamma t = ln(ggamma v2 + g)
Finalmente, resolvendo para t:
t = 1gamma ln(1 + gamma v2g)

Resposta

O tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima é
t = 1gamma ln(1 + gamma v2g)

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