Um projétil é lançado da origem com velocidade inicial
, estando sujeito a uma força de resistência do ar do tipo
, onde
é a constante de resistência do ar e
é a massa do projétil. A aceleração da gravidade no local vale
. Calcule o tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima.
Passo 1
Então, a gente tem aqui um projétil que é lançado da origem com uma velocidade inicial que tem componentes nas direções x e y, ou seja,
. Além disso, esse projétil está passando por uma força de resistência do ar que é proporcional à velocidade, dada por
. E, claro, também tem a força da gravidade atuando para baixo,
. A matéria envolvida aqui é a cinemática com resistência do ar, e a gente vai precisar resolver uma equação diferencial para achar o tempo que o projétil leva para alcançar a altura máxima, ou seja, o ponto onde a componente vertical da velocidade vira zero.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as coisas nas direções x e y, porque assim fica mais fácil de resolver. Na direção x, a única força atuando é a resistência do ar, já que não tem gravidade agindo nessa direção. Na direção y, a gente tem tanto a resistência do ar quanto a gravidade.
Passo 3
Vamos focar na direção y para achar quando o projétil atinge a altura máxima. A equação da segunda lei de Newton nessa direção fica assim:
Aqui,
é a aceleração na direção y. A gente pode dividir todos os termos por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial que a gente precisa resolver para encontrar
, a velocidade na direção y em função do tempo.
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial linear e podemos resolver usando o método do fator integrante. A solução geral dessa equação é:
Aqui,
é a componente inicial da velocidade na direção y, ou seja,
.
Passo 5
Agora, para encontrar o tempo
quando o projétil atinge a altura máxima, a gente sabe que nesse ponto a velocidade vertical
é zero. Então, vamos igualar a expressão que encontramos a zero e resolver para
:
Isolando
:
Agora, tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
O tempo gasto pelo projétil para atingir a altura máxima é