Um projétil é lançado de um ponto no plano XY e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
onde
está em metros e t está em segundos.
Encontre o módulo da velocidade e da aceleração no instante
.
Encontre o módulo da velocidade e da aceleração no instante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um projétil no plano XY dada pela função vetorial:
A missão aqui é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) da velocidade e da aceleração quando o tempo
for igual a 2 segundos. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, para achar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é:
Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a componente
:
Agora, a componente
:
Então, a velocidade vetorial é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar seu módulo (ou seja, o tamanho da velocidade) usando a fórmula:
Onde
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos substituir
segundos na expressão da velocidade:
Então, a velocidade no instante
segundos é:
Passo 6
Agora, calculamos o módulo da velocidade:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de
.
Passo 8
Derivando a componente
:
Derivando a componente
:
Então, a aceleração vetorial é:
Passo 9
Como a aceleração não depende do tempo (as componentes são constantes), o módulo da aceleração é:
Resposta
No instante
segundos, o módulo da velocidade é
m/s e o módulo da aceleração é aproximadamente
m/s².