Um projétil é lançado de um ponto no plano XY e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
r(t)=(3 t^2+2 t) i+(4 t-t^2) j
onde r(t) está em metros e t está em segundos.
Encontre o módulo da velocidade e da aceleração no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um projétil no plano XY dada pela função vetorial:
r(t) = (3 t^2 + 2 t) i + (4 t - t^2) j
A missão aqui é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) da velocidade e da aceleração quando o tempo t for igual a 2 segundos. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente derivadas, para achar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se r(t) é a posição, então a velocidade v(t) é:
v(t) = dr(t)dt
Então, vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar a componente x(t) = 3t^2 + 2t:
dxdt = ddt(3t^2) + ddt(2t) = 6t + 2
Agora, a componente y(t) = 4t - t^2:
dydt = ddt(4t) - ddt(t^2) = 4 - 2t
Então, a velocidade vetorial é:
v(t) = (6t + 2)i + (4 - 2t)j

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos encontrar seu módulo (ou seja, o tamanho da velocidade) usando a fórmula:
|v(t)| = raiz(vx)^2 + (vy)^2
Onde vx e vy são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 5

Vamos substituir t = 2 segundos na expressão da velocidade:
vx = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14
vy = 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0
Então, a velocidade no instante t = 2 segundos é:
v(2) = 14i + 0j

Passo 6

Agora, calculamos o módulo da velocidade:
|v(2)| = raiz14^2 + 0^2 = raiz196 + 0 = raiz196 = 14 m/s

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente de v(t).

Passo 8

Derivando a componente vx(t) = 6t + 2:
dvxdt = 6
Derivando a componente vy(t) = 4 - 2t:
dvydt = -2
Então, a aceleração vetorial é:
a(t) = 6i - 2j

Passo 9

Como a aceleração não depende do tempo (as componentes são constantes), o módulo da aceleração é:
|a(t)| = raiz6^2 + (-2)^2 = raiz36 + 4 = raiz40 = 2raiz10 approx 6,32 m/s² ²

Resposta

No instante t = 2 segundos, o módulo da velocidade é 14 m/s e o módulo da aceleração é aproximadamente 6,32 m/s².

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