Sobre o oscilador harmônico quântico livre. Discutimos em sala de aula o importantíssimo modelo idealizado para uma partícula que está sob a ação de uma força restauradora e a amplitude do seu movimento é de dimensões atômicas. Usamos o método de operadores e encontramos que a função que descreve a localização da partícula é escrita como \psi_{n}(x)=\left(\frac{1}{\pi x_{0}^{2}}\right)^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} H_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2 x_{0}^{2}}}, sendo H_{n}\left(\frac{x}{x_{0}}\right) os polinômios de Hermite, x_{0} o ponto do espaço onde ocorre o equilíbrio e x é a distância que a partícula se encontra de x_{0}. Aplicando o operador energia \widehat{H} no estado fundamental \psi_{0}(x), encontramos a energia deste estado, que foi escrita como E_{0}=\hbar \omega / 2. Aplicando o operador de excitação \hat{a}_{+} n vezes no estado fundamental \psi_{0}(x) encontramos a energia do n-ésimo estado como E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega. Podíamos ter encontrado o mesmo resultado E_{n} aplicando o operador energia \widehat{H} apenas uma vez no estado \psi_{n}(x). Mas isso seria uma operação matemática muito mais complicada. Esta questão pede que você encontre os níveis de energia de uma partícula de massa m dentro do mesmo potencial do oscilador harmônico, mas que está restrita a se mover apenas metade direita dele:
V(x)= \begin{cases}+\infty, & x \leq 0 \\\ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}, & x>0\end{cases}
Mostre que as energias ficam alteradas e podem ser escritos como:
E_{n}=\left(2 n+\frac{3}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2,3, \ldots

Passo 1

O enunciado quer o espectro de energia de uma partícula de massa m\) no potencial \[V(x)= \begin{cases} +\infty, & x \le 0,\\\ \dfrac12\,m\omega^2x^2, & x>0, \end{cases}
ou seja, o oscilador harmônico “pela metade”: domínio físico x>0\] e barreira infinita em \(x=0. Precisamos usar o fato de que no oscilador harmônico completo as autofunções \psi_n(x) têm paridade bem definida (pares ou ímpares) e energia
E_n=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,\dots
e então impor a condição de contorno \psi(0)=0 para selecionar apenas as soluções válidas em x>0.

Passo 2

Lembre que polinômios de Hermite H_n(\xi) têm paridade igual ao índice n:
  • Se n é par, H_n(0)\neq0.
  • Se n é ímpar, H_n(0)=0.
    A autofunção completa
\psi_n(x)=\Bigl(\tfrac1{\pi x_0^2}\Bigr)^{1/4}\!\tfrac{1}{\sqrt{2^n n!}}\,H_n\!\bigl(\tfrac{x}{x_0}\bigr)\,e^{-x^2/(2x_0^2)}
satisfaz \psi_n(0)\propto H_n(0). Logo, para ter \psi(0)=0 na “metade direita”, só cabem os estados de paridade ímpar do oscilador completo.

Passo 3

Como os únicos índices ímpares podem ser escritos como
n_{\rm total}=2k+1,\quad k=0,1,2,\dots,
os níveis permitidos do oscilador completo são aqueles com n_{\rm total}=1,3,5,\dots.

Passo 4

Substituindo n_{\rm total}=2k+1 na fórmula da energia do oscilador inteiro,
E_{2k+1}=\Bigl((2k+1)+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega =\Bigl(2k+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega.

Passo 5

Basta renomear o índice k\to n para enumerar os níveis no meio-intervalo x>0.
E_n=\Bigl(2n+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,\dots

Resposta

E_n=\Bigl(2n+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,3,\ldots

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