Sobre o oscilador harmônico quântico livre. Discutimos em sala de aula o importantíssimo modelo idealizado para uma partícula que está sob a ação de uma força restauradora e a amplitude do seu movimento é de dimensões atômicas. Usamos o método de operadores e encontramos que a função que descreve a localização da partícula é escrita como
, sendo
os polinômios de Hermite,
o ponto do espaço onde ocorre o equilíbrio e
é a distância que a partícula se encontra de
. Aplicando o operador energia
no estado fundamental
, encontramos a energia deste estado, que foi escrita como
. Aplicando o operador de excitação
vezes no estado fundamental
encontramos a energia do
-ésimo estado como
. Podíamos ter encontrado o mesmo resultado
aplicando o operador energia
apenas uma vez no estado
. Mas isso seria uma operação matemática muito mais complicada. Esta questão pede que você encontre os níveis de energia de uma partícula de massa
dentro do mesmo potencial do oscilador harmônico, mas que está restrita a se mover apenas metade direita dele:
Mostre que as energias ficam alteradas e podem ser escritos como:
Passo 1
O enunciado quer o espectro de energia de uma partícula de massa
ou seja, o oscilador harmônico “pela metade”: domínio físico
. Precisamos usar o fato de que no oscilador harmônico completo as autofunções
têm paridade bem definida (pares ou ímpares) e energia
e então impor a condição de contorno
para selecionar apenas as soluções válidas em
.
Passo 2
Lembre que polinômios de Hermite
têm paridade igual ao índice
:
- Se
é par, . - Se
é ímpar, .
A autofunção completa
satisfaz
. Logo, para ter
na “metade direita”, só cabem os estados de paridade ímpar do oscilador completo.
Passo 3
Como os únicos índices ímpares podem ser escritos como
os níveis permitidos do oscilador completo são aqueles com
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula da energia do oscilador inteiro,
Passo 5
Basta renomear o índice
para enumerar os níveis no meio-intervalo
.