Seja
uma variável aleatória tal que sua função densidade de probabilidade seja
definida abaixo, com
sendo uma constante.
Qual deve ser o valor da constante
para que
cumpra os requisitos para ser uma função densidade de probabilidade?
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão está tratando de funções densidade de probabilidade, que são usadas para descrever a distribuição de uma variável aleatória contínua. A gente precisa encontrar o valor da constante $ C $ que faz com que a função $ f(x) $ seja uma função densidade válida. Para isso, vamos lembrar que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo onde a função $ f(x) $ é diferente de zero. No caso, $ f(x) = C $ para $ -5 \leq x \leq 17 $ e zero fora desse intervalo. Isso significa que a variável aleatória $ x $ só pode assumir valores entre -5 e 17.
Passo 3
Como a integral total da função densidade precisa ser 1, vamos calcular essa integral no intervalo onde $ f(x) = C $:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral. A integral de uma constante $ C $ em relação a $ x $ é $ Cx $. Aplicando os limites:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ C $, basta dividir ambos os lados da equação por 22:
Resposta
O valor da constante $ C $ deve ser $ \frac{1}{22} $ para que $ f(x) $ seja uma função densidade de probabilidade válida.