Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função objetivo
. - A restrição
.
O que o problema pede:
- Encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de
sob a restrição . - Ou seja, achar os pontos
na circunferência onde atinge valor máximo e onde atinge valor mínimo, e calcular esses valores.
Passo 2
Ideia principal do método que vamos usar (explicação didática):
- Quando se busca extremos de
sujeitos a uma restrição , em pontos extremos a variação de ao longo da curva restrita é zero. Isso implica que o vetor gradiente de , que aponta na direção de crescimento mais rápido de , deve ser paralelo ao vetor gradiente de , que é normal à curva de nível de . - Em fórmulas: se
é a restrição, então em um extremo restrito existe tal que
- Aqui cada componente do gradiente é a derivada parcial (derivada em relação a
ou ). O parâmetro é chamado multiplicador de Lagrange e mede essa proporcionalidade entre os gradientes.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso problema:
- Definimos
. A restrição é . - Calculamos os gradientes:
- Pela condição de paralelismo,
Passo 4
Escrevendo as equações escalares correspondentes:
- Da igualdade de vetores obtemos o sistema
- Além disso a restrição deve ser satisfeita:
Passo 5
Resolver o sistema de equações passo a passo:
- Da primeira equação temos
- Da segunda equação temos
- Substituindo
e na restrição:
- Colocando em comum denominador:
- Portanto
- Logo
.
Passo 6
Encontrar os pontos correspondentes a cada
:
- Para
:
Verificação rápida da restrição:
(ok).
- Para
:
Verificação:
(ok).
Passo 7
Classificar os pontos como máximo ou mínimo e calcular os valores de
:
- Avaliando
em :
- Avaliando
em :
- Como a restrição define uma curva compacta (
é uma circunferência) e é contínua, os pontos críticos encontrados correspondem ao máximo e ao mínimo globais sobre a restrição. Assim: -
é ponto de máximo restrito com valor . -
é ponto de mínimo restrito com valor .
-
Resposta
Máximo restrito em
com valor
.
Mínimo restrito em com valor
.
Mínimo restrito em