Utilize o método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função f(x, y)=2 x+y sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=5.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função objetivo f(x,y)=2x+y.
  • A restrição x^{2}+y^{2}=5.
O que o problema pede:
  • Encontrar os valores extremos (máximo e mínimo) de f sob a restrição x^{2}+y^{2}=5.
  • Ou seja, achar os pontos (x,y) na circunferência \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=5\} onde f atinge valor máximo e onde atinge valor mínimo, e calcular esses valores.

Passo 2

Ideia principal do método que vamos usar (explicação didática):
  • Quando se busca extremos de f sujeitos a uma restrição g(x,y)=0, em pontos extremos a variação de f ao longo da curva restrita é zero. Isso implica que o vetor gradiente de f, que aponta na direção de crescimento mais rápido de f, deve ser paralelo ao vetor gradiente de g, que é normal à curva de nível de g.
  • Em fórmulas: se g(x,y)=0 é a restrição, então em um extremo restrito existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y).
  • Aqui cada componente do gradiente é a derivada parcial (derivada em relação a x ou y). O parâmetro \lambda é chamado multiplicador de Lagrange e mede essa proporcionalidade entre os gradientes.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso problema:
  • Definimos g(x,y)=x^{2}+y^{2}-5. A restrição é g(x,y)=0.
  • Calculamos os gradientes:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(2,1\right),
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right)=\left(2x,2y\right).
  • Pela condição de paralelismo,
\left(2,1\right)=\lambda\left(2x,2y\right).

Passo 4

Escrevendo as equações escalares correspondentes:
  • Da igualdade de vetores obtemos o sistema
2=2\lambda x,
1=2\lambda y.
  • Além disso a restrição deve ser satisfeita:
x^{2}+y^{2}=5.

Passo 5

Resolver o sistema de equações passo a passo:
  • Da primeira equação temos
2=2\lambda x \quad\Rightarrow\quad 1=\lambda x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{\lambda}.
  • Da segunda equação temos
1=2\lambda y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{2\lambda}.
  • Substituindo x e y na restrição:
\left(\frac{1}{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}=5.
  • Colocando em comum denominador:
\frac{1}{\lambda^{2}}+\frac{1}{4\lambda^{2}}=\frac{5}{4\lambda^{2}}=5.
  • Portanto
\frac{5}{4\lambda^{2}}=5 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{4\lambda^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \lambda^{2}=\frac{1}{4}.
  • Logo \lambda=\pm\frac{1}{2}.

Passo 6

Encontrar os pontos correspondentes a cada \lambda:
  • Para \lambda=\frac{1}{2}:
x=\frac{1}{\lambda}=2,\qquad y=\frac{1}{2\lambda}=1.
Verificação rápida da restrição: 2^{2}+1^{2}=4+1=5 (ok).
  • Para \lambda=-\frac{1}{2}:
x=\frac{1}{\lambda}=-2,\qquad y=\frac{1}{2\lambda}=-1.
Verificação: (-2)^{2}+(-1)^{2}=4+1=5 (ok).

Passo 7

Classificar os pontos como máximo ou mínimo e calcular os valores de f:
  • Avaliando f em (2,1):
f(2,1)=2\cdot 2 + 1 = 4+1=5.
  • Avaliando f em (-2,-1):
f(-2,-1)=2\cdot(-2)+(-1) = -4-1=-5.
  • Como a restrição define uma curva compacta ( x^{2}+y^{2}=5 é uma circunferência) e f é contínua, os pontos críticos encontrados correspondem ao máximo e ao mínimo globais sobre a restrição. Assim:
    • (2,1) é ponto de máximo restrito com valor 5.
    • (-2,-1) é ponto de mínimo restrito com valor -5.

Resposta

Máximo restrito em (2,1) com valor 5.
Mínimo restrito em (-2,-1) com valor -5.

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