1. Qual a proposição abaixo é verdadeira:
    a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
    b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
    c) O número 1,83333 \ldots é um número racional.
    d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das quatro proposições abaixo é verdadeira. As proposições são:
(a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
(b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
(c) O número 1,83333\ldots é um número racional.
(d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Informações relevantes dadas ( explícitas nas alternativas ):
  • Estamos lidando com os conjuntos numéricos: inteiros, racionais, irracionais e reais.
  • Há uma pergunta sobre a natureza do número 1,83333\ldots (decimal periódico).
  • Há afirmações sobre propriedades de fechamento (por exemplo, divisão de inteiros).

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas — passo a passo, sem pressa.
  • O conjunto dos inteiros é \mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}. Um inteiro é um número sem parte fracionária.
  • O conjunto dos racionais é \mathbb{Q}=\left\{\dfrac{p}{q}\mid p,q\in\mathbb{Z},\;q\neq0\right\}. Ou seja, qualquer número que pode ser escrito como fração de inteiros (denominador não zero) é racional.
  • Os irracionais são os números reais que não são racionais; ou seja, \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
  • O conjunto dos reais é \mathbb{R}, que contém tanto \mathbb{Q} quanto os irracionais.
Observações úteis:
  • Se n\in\mathbb{Z} então n=\dfrac{n}{1}, logo n\in\mathbb{Q}. Isso mostra a relação \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}.
  • Um número decimal que tem parte decimal periódica (repete) é racional; um número racional tem representação decimal finita ou periódica. Vou usar isso depois na análise do item (c).

Passo 3

Análise da proposição (a):
  • Primeira parte: “Todo número inteiro é racional.”
    Explicação: para qualquer n\in\mathbb{Z} pode-se escrever n=\dfrac{n}{1} com denominador 1\neq0. Isso mostra que todo inteiro é racional. Então a primeira parte é verdadeira.
  • Segunda parte: “todo número real é um número inteiro.”
    Explicação: isso diz \mathbb{R}\subset\mathbb{Z}, o que não é verdade — há muitos reais que não são inteiros (por exemplo \pi, 0,5, \sqrt{2}). Portanto a segunda parte é falsa.
Como a proposição (a) afirma as duas coisas juntas (conjunção), e uma delas é falsa, a proposição (a) é falsa.

Passo 4

Análise da proposição (b):
  • A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é, por definição, \mathbb{Q}\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}).
  • Um elemento que fosse ao mesmo tempo racional e irracional violaria a definição (racional e irracional são mutuamente exclusivos). Logo a intersecção é o conjunto vazio \varnothing, que tem 0 elementos, não 1.
Portanto a proposição (b) é falsa.

Passo 5

Análise da proposição (c): 1,83333\ldots
Vou mostrar explicitamente que esse número é racional, encontrando uma fração igual a ele. Método direto (algebra com o decimal periódico):
Defina
x = 1,83333\ldots
Multiplicando por 10 (porque a repetição ocorre a partir da primeira casa decimal após a vírgula),
10x = 18,3333\ldots
Agora subtraio a primeira equação da segunda:
10x - x = 18,3333\ldots - 1,83333\ldots
9x = 16,5
Agora escrevo 16,5 como fração: 16,5=\dfrac{33}{2}. Então
9x = \dfrac{33}{2}\quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{33}{2}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{33}{18}=\dfrac{11}{6}.
Como \dfrac{11}{6} é uma fração de inteiros (denominador não nulo), x\in\mathbb{Q}. Portanto 1,83333\ldots é racional.
Comentário didático extra (útil para prova): todo decimal periódico pode ser escrito como fração usando a mesma ideia (multiplicar por potência de 10 que desloca a repetição, subtrair, resolver). Assim periodicidade ⇔ racionalidade.

Passo 6

Análise da proposição (d):
  • Afirma: “A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.”
  • Contraexemplo simples: dividir 1 por 2. \dfrac{1}{2} não é inteiro, é um racional que não pertence a \mathbb{Z}. Portanto a afirmação é falsa.
Observação: os inteiros são fechados para soma, subtração e multiplicação, mas não são fechados para divisão (a menos que o divisor divida exatamente o dividendo).

Passo 7

Resumo das análises feitas nos passos anteriores:
  • (a) falsa;
  • (b) falsa;
  • (c) verdadeira (com demonstração: 1,83333\ldots=\dfrac{11}{6});
  • (d) falsa.

Resposta

c)

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