- Qual a proposição abaixo é verdadeira:
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
c) O número
é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
c) O número
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das quatro proposições abaixo é verdadeira. As proposições são:
(a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
(b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
(c) O número é um número racional.
(d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
(a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.
(b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais têm 1 elemento.
(c) O número
(d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Informações relevantes dadas ( explícitas nas alternativas ):
- Estamos lidando com os conjuntos numéricos: inteiros, racionais, irracionais e reais.
- Há uma pergunta sobre a natureza do número
(decimal periódico). - Há afirmações sobre propriedades de fechamento (por exemplo, divisão de inteiros).
Passo 2
Vamos lembrar definições básicas — passo a passo, sem pressa.
- O conjunto dos inteiros é
. Um inteiro é um número sem parte fracionária. - O conjunto dos racionais é
. Ou seja, qualquer número que pode ser escrito como fração de inteiros (denominador não zero) é racional. - Os irracionais são os números reais que não são racionais; ou seja,
. - O conjunto dos reais é
, que contém tanto quanto os irracionais.
Observações úteis:
- Se
então , logo . Isso mostra a relação . - Um número decimal que tem parte decimal periódica (repete) é racional; um número racional tem representação decimal finita ou periódica. Vou usar isso depois na análise do item (c).
Passo 3
Análise da proposição (a):
-
Primeira parte: “Todo número inteiro é racional.”
Explicação: para qualquerpode-se escrever com denominador . Isso mostra que todo inteiro é racional. Então a primeira parte é verdadeira. -
Segunda parte: “todo número real é um número inteiro.”
Explicação: isso diz, o que não é verdade — há muitos reais que não são inteiros (por exemplo , , ). Portanto a segunda parte é falsa.
Como a proposição (a) afirma as duas coisas juntas (conjunção), e uma delas é falsa, a proposição (a) é falsa.
Passo 4
Análise da proposição (b):
- A intersecção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é, por definição,
. - Um elemento que fosse ao mesmo tempo racional e irracional violaria a definição (racional e irracional são mutuamente exclusivos). Logo a intersecção é o conjunto vazio
, que tem elementos, não .
Portanto a proposição (b) é falsa.
Passo 5
Análise da proposição (c):
Vou mostrar explicitamente que esse número é racional, encontrando uma fração igual a ele. Método direto (algebra com o decimal periódico):
Defina
Multiplicando por
(porque a repetição ocorre a partir da primeira casa decimal após a vírgula),
Agora subtraio a primeira equação da segunda:
Agora escrevo
como fração:
. Então
Como
é uma fração de inteiros (denominador não nulo),
. Portanto
é racional.
Comentário didático extra (útil para prova): todo decimal periódico pode ser escrito como fração usando a mesma ideia (multiplicar por potência de 10 que desloca a repetição, subtrair, resolver). Assim periodicidade ⇔ racionalidade.
Passo 6
Análise da proposição (d):
- Afirma: “A divisão de dois números inteiros é sempre um número inteiro.”
- Contraexemplo simples: dividir
por . não é inteiro, é um racional que não pertence a . Portanto a afirmação é falsa.
Observação: os inteiros são fechados para soma, subtração e multiplicação, mas não são fechados para divisão (a menos que o divisor divida exatamente o dividendo).
Passo 7
Resumo das análises feitas nos passos anteriores:
- (a) falsa;
- (b) falsa;
- (c) verdadeira (com demonstração:
); - (d) falsa.
Resposta
c)