Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais de
\frac{1}{x^{3}+2x^{2}+x}.
Para isso, primeiro identificamos os fatores lineares no denominador.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}+2x^{2}+x = x\,(x^{2}+2x+1) = x\,(x+1)^{2}.
Como temos o fator linear x de multiplicidade 1 e o fator linear (x+1) de multiplicidade 2, a forma geral da decomposição é
\frac{1}{x\,(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}.

Resposta

\frac{1}{x^{3}+2x^{2}+x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}.

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