Proposição 2.4: A quantidade dos subconjuntos diferentes, quais contem k elementos, entre um conjunto, que contem n elementos é igual ao \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um conjunto com n elementos, a quantidade de maneiras de escolher subconjuntos de exatamente k elementos é
\binom{n}{k} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
O conteúdo aqui é combinatória: vamos usar o princípio fundamental da contagem e a relação entre permutações e combinações para chegar a essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, conte de quantas formas podemos escolher e ordenar k elementos distintos dentre os n. Isso é uma permutação de n elementos tomados k a k, cujo número é
P(n,k) \;=\; n\,(n-1)\,(n-2)\,\cdots\,(n-k+1) \;=\;\frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui estamos escolhendo uma sequência ordenada de k elementos.

Passo 3

Observe que cada subconjunto de k elementos pode ser ordenado de k! maneiras diferentes. Ou seja, as P(n,k) sequências contam cada subconjunto k! vezes (uma para cada permutação interna).

Passo 4

Para obter apenas o número de subconjuntos (sem importar a ordem interna), dividimos o total de sequências P(n,k) por k!. Assim,
\text{nº de subconjuntos} \;=\;\frac{P(n,k)}{k!} \;=\;\frac{\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.º

Resposta

\binom{n}{k} \;=\;\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

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