Proposição 2.5: Seja p um número primo. l \in \mathbb{N}^{+}, tal que (l, p)=1, r, a \in \mathbb{N}, a \leq r. Então \binom{p^{r} l}{p^{a}}=p^{r-a} m, onde (m, p)=1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um primo p, um inteiro l>0 com \gcd(l,p)=1 e inteiros r,a\ge0 com a\le r, a binomial
\binom{p^{r}l}{p^{a}}
é divisível por exatamente p^{\,r-a}, i.e.\ podemos escrevê-la como
Defina para cada i\ge1T(i) =\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor\tfrac{p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l-p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor,
de modo que v_{p}(\binom{p^{r}l}{p^{a}})=\sum_{i=1}^{\infty}T(i).
Passo 4
Analisamos T(i) em três faixas de i:
Se i\le a, então p^{i} divide p^{a}, logo \lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor=p^{a-i} e \lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor
=\lfloor p^{r-i}l - p^{a-i}\rfloor
=p^{r-i}l - p^{a-i}.
Assim
Se a<i\le r, então p^{i}>p^{a} e p^{a}/p^{i}<1, logo \lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor=0 e \lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor
=\lfloor p^{r-i}l - p^{a-i}\rfloor
=p^{r-i}l -1, pois 0<p^{a-i}<1. Além disso \lfloor p^{r}l/p^{i}\rfloor=p^{r-i}l.
Portanto
T(i) =p^{r-i}l - 0 - (p^{r-i}l -1) =1.
Se i>r, então p^{i} excede ambos p^{r}l e p^{a}, dando \lfloor p^{r}l/p^{i}\rfloor
=\lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor
=\lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor
=0. Logo T(i)=0.
Assim, T(i)=1 exatamente para i=a+1,a+2,\dots,r, e T(i)=0 caso contrário.