Proposição 2.5: Seja p um número primo. l \in \mathbb{N}^{+}, tal que (l, p)=1, r, a \in \mathbb{N}, a \leq r. Então \binom{p^{r} l}{p^{a}}=p^{r-a} m, onde (m, p)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um primo p, um inteiro l>0 com \gcd(l,p)=1 e inteiros r,a\ge0 com a\le r, a binomial
\binom{p^{r}l}{p^{a}}
é divisível por exatamente p^{\,r-a}, i.e.\ podemos escrevê-la como
\binom{p^{r}l}{p^{a}}=p^{\,r-a}m \quad\text{com}\quad\gcd(m,p)=1.
O conteúdo principal aqui é a Fórmula de Legendre para a valuation v_{p}(n!).

Passo 2

Recordamos a Fórmula de Legendre: para todo inteiro n\ge1,
v_{p}(n!) \;=\;\sum_{i=1}^{\infty}\Big\lfloor\frac{n}{p^{i}}\Big\rfloor,
onde v_{p}(n!) é o expoente de p em n!. Em particular,
v_{p}\Bigl(\binom{N}{K}\Bigr) =\;v_{p}(N!)\;-\;v_{p}(K!)\;-\;v_{p}\bigl((N-K)!\bigr).

Passo 3

Aplicando isso a N=p^{r}l e K=p^{a}, temos
v_{p}\Bigl(\binom{p^{r}l}{p^{a}}\Bigr) =\sum_{i=1}^{\infty}\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\sum_{i=1}^{\infty}\Bigl\lfloor\tfrac{p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\sum_{i=1}^{\infty}\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l-p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor.
Defina para cada i\ge1 T(i) =\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor\tfrac{p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor \;-\;\Bigl\lfloor\tfrac{p^{r}l-p^{a}}{p^{i}}\Bigr\rfloor,
de modo que v_{p}(\binom{p^{r}l}{p^{a}})=\sum_{i=1}^{\infty}T(i).

Passo 4

Analisamos T(i) em três faixas de i:
  1. Se i\le a, então p^{i} divide p^{a}, logo
    \lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor=p^{a-i} e
    \lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor =\lfloor p^{r-i}l - p^{a-i}\rfloor =p^{r-i}l - p^{a-i}.
    Assim
T(i) =p^{r-i}l - p^{a-i} - (p^{r-i}l - p^{a-i}) =0.
  1. Se a<i\le r, então p^{i}>p^{a} e p^{a}/p^{i}<1, logo
    \lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor=0 e
    \lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor =\lfloor p^{r-i}l - p^{a-i}\rfloor =p^{r-i}l -1, pois 0<p^{a-i}<1. Além disso
    \lfloor p^{r}l/p^{i}\rfloor=p^{r-i}l.
    Portanto
T(i) =p^{r-i}l - 0 - (p^{r-i}l -1) =1.
  1. Se i>r, então p^{i} excede ambos p^{r}l e p^{a}, dando
    \lfloor p^{r}l/p^{i}\rfloor =\lfloor p^{a}/p^{i}\rfloor =\lfloor(p^{r}l-p^{a})/p^{i}\rfloor =0. Logo T(i)=0.
Assim, T(i)=1 exatamente para i=a+1,a+2,\dots,r, e T(i)=0 caso contrário.

Passo 5

Somando sobre i\ge1 obtemos
v_{p}\Bigl(\binom{p^{r}l}{p^{a}}\Bigr) =\sum_{i=1}^{\infty}T(i) =\underbrace{1+1+\cdots+1}_{r-a\text{ vezes}} =r-a.
Logo \binom{p^{r}l}{p^{a}} tem exatamente p^{r-a} como fator de p, podendo ser escrita como
\binom{p^{r}l}{p^{a}}=p^{\,r-a}m \quad\text{com}\quad v_{p}(m)=0 \;\Longleftrightarrow\;\gcd(m,p)=1.

Resposta

\displaystyle \binom{p^{r}l}{p^{a}}=p^{\,r-a}m com \gcd(m,p)=1.

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