Proposição 4.3. Sejam
inteiros quaisquer e seja
um inteiro maior do que 1. Se
, então
.
Demonstração. De fato, como
e
, então
divide
e
. Por outro lado, como
segue que
divide
, o que prova o resultado.
Conclui-se que as congruências de mesmo módulo multiplicam-se membro a membro tal qual as igualdades.
Problema 4.14. Suponha que
. Mostre que
qualquer que seja o inteiro
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para inteiros
,
e
, temos a hipótese
e pede para mostrar que, para qualquer inteiro
,
O conteúdo aqui é aritmética modular: usar a definição de congruência (divisibilidade) e o fato de que, se um inteiro divide outro, então também divide qualquer múltiplo desse outro.
Passo 2
Pela definição de congruência, de
segue que
divide
. Ou seja, existe um inteiro
tal que
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade acima por
. Assim,
Isso mostra que
também divide
, pois
é múltiplo de
.
Passo 4
Reescrevendo o produto, temos
Como acabamos de ver que
divide
, concluímos pela definição de congruência que