Proposição 4.3. Sejam a1, a2, b1, b2 inteiros quaisquer e seja m um inteiro maior do que 1. Se a1 equiv b1 bmod m e a2 equiv b2 bmod m, então a1 times a2 equiv b1 times b2 bmod m.
Demonstração. De fato, como a1 equiv b1 bmod m e a2 equiv b2 bmod m, então
m divide a1-b1 e a2-b2. Por outro lado, como
a1 times a2-b1 times b2=a1 times(a2-b2)+b2 times(a1-b1),
segue que m divide a1 times a2-b1 times b2, o que prova o resultado.
Conclui-se que as congruências de mesmo módulo multiplicam-se membro a membro tal qual as igualdades.
Problema 4.14. Suponha que a equiv b bmod m. Mostre que
a times c equiv b times c bmod m,
qualquer que seja o inteiro c.

Passo 1

O enunciado afirma que, para inteiros a, b e m>1, temos a hipótese
a equiv b bmod m
e pede para mostrar que, para qualquer inteiro c,
a times c equiv b times c bmod m
O conteúdo aqui é aritmética modular: usar a definição de congruência (divisibilidade) e o fato de que, se um inteiro divide outro, então também divide qualquer múltiplo desse outro.

Passo 2

Pela definição de congruência, de
a equiv b bmod m
segue que m divide a - b. Ou seja, existe um inteiro k tal que
a - b = k,m

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade acima por c. Assim,
c,(a - b) = c,(k,m) = (c,k),m
Isso mostra que m também divide c,(a - b), pois (c,k),m é múltiplo de m.

Passo 4

Reescrevendo o produto, temos
c,(a - b) = a,c - b,c
Como acabamos de ver que m divide a,c - b,c, concluímos pela definição de congruência que
a,c equiv b,c bmod m

Resposta

a times c equiv b times c bmod m

Exercícios relacionados