Resolva as equações para x in R
2^x+2^2 x+2^3 x=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
2^x + 2^2x + 2^3x = 3
para x in R. O conteúdo aqui é manipular potências de base fixa e transformar em um polinômio por meio de uma substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = 2^x,
onde obrigatoriamente y>0. Então
2^2x = (2^x)^2 = y^2, 2^3x = (2^x)^3 = y^3
A equação vira
y + y^2 + y^3 = 3
com y>0.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de polinômio, temos
y^3 + y^2 + y - 3 = 0
Testamos a raiz racional y=1:
1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 0
Logo, y=1 é raiz. Fazendo divisão sintética por y-1, o quociente é
y^2 + 2y + 3,
cuja equação y^2 + 2y + 3 = 0 tem discriminante De<a = 4 - 12 = -8<0, raízes complexas. Assim, a única solução real de y^3+y^2+y-3=0 com y>0 é
y = 1

Passo 4

Voltando à variável original, y=2^x=1. Como 2^x=1 só acontece quando x=0, concluímos que
x = 0

Resposta

x = 0

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