Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. O conjunto dos números naturais é finito
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g. O conjunto dos números naturais é finito
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
Passo 1
Vamos organizar as definições dos conjuntos que aparecem nas proposições:
é o conjunto dos naturais com o zero;
é o conjunto dos naturais sem o zero;
é o conjunto dos inteiros;
são os inteiros não nulos;
são os inteiros positivos;
são os inteiros negativos;
é o conjunto dos números racionais;
é o conjunto dos números irracionais.
Passo 2
Analisando a) e b), que envolvem zero em
e em
:
– Como , temos
, logo a) é falsa.
– Como , temos
, logo b) é verdadeira.
– Como
– Como
Passo 3
Analisando c) e k), que envolvem
:
– é um inteiro, logo
e c) é verdadeira.
– também é inteiro, portanto a afirmação “
” é falsa, e k) é falsa.
–
–
Passo 4
Analisando relações entre
,
e
:
– não contém
, então não é superconjunto de
(que tem o zero); d) é falsa.
– Também não cabe dentro de
(falta o zero), então l) é falsa.
– Como só tem não-negativos e
só tem negativos, sua intersecção é vazia; m) é verdadeira.
–
– Também
– Como
Passo 5
Analisando e) e f), que testam se determinadas diferenças estão em
:
– , logo e) é falsa.
– , logo f) é verdadeira.
–
–
Passo 6
Analisando g) e h), que tratam de finitude e de
em
:
– é infinito, então g) (“
é finito”) é falsa.
– não é natural, logo h) é falsa.
–
–
Passo 7
Analisando i), j) e n), que envolvem
e
:
– não é número real, logo nem irracional de
; i) é falsa.
– é racional (pode ser escrito como
), então
e j) é verdadeira.
– Inteiros são todos racionais, logo não há nenhum inteiro irracional; e n) é verdadeira.
–
–
– Inteiros são todos racionais, logo não há nenhum inteiro irracional;
Resposta
As proposições verdadeiras são:
b, c, f, j, m, n.
b, c, f, j, m, n.